Digitalisierung

In diesem Beitrag soll herausgefunden werden, welche Methode die beste Grundlage für eine Astro-Navigations-App ist.

Der Programmierung einer Computer-App muss eine Planung vorausgehen. Praktisch ist auch eine Vorprogrammierung mit einer Tabellenkalkulation wie Excel. Ein Navigationsprogramm besteht aus mehreren Modulen, die mit einer Tabellenkalkulation sehr effektiv auch einzeln ausgetestet werden können, weil die Ergebnisse sofort, ohne einen Quelltext erst kompilieren zu müssen, zur Verfügung stehen. Ein Excel Sheet bietet eine totale Digitalisierung, ist sehr übersichtlich und lässt sich leicht in jede andere Programmiersprache umsetzten. Für ein Navigationsprogramm wären die folgenden Module bereitzustellen:

  1. Eingabenmaske: Sie zeigt auf, welche Daten dem Programm übergeben werden müssen. Dazu zählen nicht nur die gemessenen Daten, sondern auch alle Daten für eine Grundeinstellung.
  2. Sextantenbeschickung: Da nur der am Sextanten abgelesene Höhenwinkel eingegeben werden soll, muss dieser vor seiner Verwendung mit einem Modul berichtigt werden. Dazu müssen Daten wie Augeshöhe, Refraktion, Indexfehler und Durchmesser der Sonnenscheibe berücksichtigt werden.
  3. Sonnenephemeriden: Eine Computer-App sollte in der Lage sein, die Sonnenpositionen selbst berechnen zu können, wodurch der Gebrauch eines nautischen Jahrbuches entfällt. Diese Berechnungen müssen bestimmten Genauigkeitsansprüchen genügen. Es hat sich gezeigt, dass hierbei die Kepler Gleichungen auf der Grundlage des Zweimassensystems Erde-Sonne ausreichende Genauigkeiten bietet.
  4. Positionsberechnung: Während die bisher vorgestellten Module für alle Navigationsmethoden gleichermaßen verwendet werden, zeigt sich im Rechenmodul der Unterschied zwischen den Verfahren. Diese Unterschiede treten vor allem im jeweils zu betreibenden Aufwand zutage, aber auch in den erreichbaren Ergebnissen.
  5. Grafiken: Was wäre ein Navigationsprogramm ohne Grafiken? Dieses Modul stellt Tabellen auf, die zur Einfügung von Grafiken erforderlich sind.

Im Weiteren werden die entsprechenden Excel Vorprogramme vorgestellt, die geschaffen worden sind, um die beste Auswahl zur Schaffung einer Navigations-App für Mobilgeräte herausfinden zu können. Es ist aber nicht so, dass diese Excel Sheets in der jetzt vorliegenden Form einfach so geschaffen worden sind. Sie alle sind das Ergebnis einer langen Vorarbeit, in der immer wieder Veränderungen angebracht wurden.

Sumner Verfahren

Thomas Sumner ist der Erfinder der Navigation mit linearen Standlinien. Das ist ein indirektes Verfahren, bei dem der gekrümmte Verlauf des Höhenkreises im Standortbereich mit einer Geraden ersetzt wird. Ein Standort wird erst sekundär aus der Kreuzung zweier Geraden gefunden. Damit das funktioniert, muss der Standortbereich definiert werden, was Sumner mit zwei Breitenschätzungen erledigte. Das führte zu Restriktionen, die in der Beschreibung des Sumner Verfahrens dargelegt sind. Eine Optimierung hinsichtlich einer zeichnerischen Verwendung der Methode gelang  30 Jahre später Saint Hilaire.

Eine Programmierung des Sumner Verfahrens wurde aufgrund seiner Nachteile gar nicht erst in Betracht gezogen. Saint Hilaire hat das Verfahren in Richtung einer zeichnerischen Verwendung optimiert. So entstand die Idee, eine andere Art der Optimierung in Richtung einer digitalen Verwendung zu versuchen. Das ist schließlich sogar gelungen. Das Ergebnis in Gestalt eines Excel Sheets kann hier als sumner_Navigation_pro heruntergeladen werden.

Darin erfolgt die Positionsberechnung in zwei Tabellen mit den Bezeichnungen „proforma Position“ und „versegelter Standort“. In der obersten Zeile werden in 19 Spalten die Arbeitsgänge eines Navigators nachempfunden. Die Spalte DIFF setzt den Abstand der Schätzbreiten, die in den folgenden vier Spalten für jede Beobachtung verwendet werden. Die nächsten acht Spalten dienen zur Berechnung der zugehörigen Schnittlängen. Aus den Schnittpunkten werden die Koeffizienten m und b linearer Funktionen der Form y = mx + b aus den beiden Beobachtungen a und b hergeleitet. Die Kreuzungen der daraus gebildeten Polynome liefern den Standort mit \lambda = (ba – bb)/(mb – ma) für die Länge und \varphi = ma ⋅ \lambda + ba für die Breite. In den darunter liegenden Zeilen werden die Schätzbreiten \varphi_1 und \varphi_2 aus der jeweils zuvor berechneten Breite und dem mit DIFF vorgegebenem Abstand festgelegt. So kann die gesamte zweite Zeile einfach nach unten kopiert werden, was eine Iteration ist. Schon nach vier Iterationen gibt es dann kaum noch Änderungen und der mit DIFF angegebene Breitenabstand ist durch fortlaufende Halbierung so klein, dass die Sumnerlinien quasi Tangenten geworden sind.

Diese erste Tabelle wird gebraucht, um aus der berechneten Länge den LHA zu bestimmen. Der wird gebraucht, um das Azimut  und weiter daraus die Höhenanpassung durch Versegelung berechnen zu können.  Die zweite Tabelle „versegelter Standort“ ist im Grunde nur eine Kopie, wobei in den Spalten 4 und 8 die Höhe hma der ersten Beobachtung durch die angepasste Höhe hmv nach Versegelung ersetzt wird.

Die Eingabenmaske besteht aus mehreren Blöcken für Einstellungen, den beiden Messungen, der Eingabe einer Versegelung und der Ergebniszeile. Selbst hier dürfte es einem Segler, der sich noch nie mit Astronavigation beschäftigt hat, nicht schwerfallen, damit klarzukommen. Er müsste nur einen Sextanten besitzen und diesen handhaben können.

Im Einstellungsblock sind Indexberichtigungen separat für beide Beobachtungen vorgesehen, was bei Verwendung von Plastiksextanten nötig ist, weil die stark temperaturabhängig auf den Nullpunktfehler reagieren. Ebenfalls separat kann der beobachtete Sonnenrand gewählt werden. Die Augeshöhe, der Abstand zwischen Wellenkamm und Sextant, muss vorgegeben werden.

Weil es gelungen ist, das Sumner Verfahren für digitale Anwendungen zu optimieren, müssen keine Schätzbreiten vorgegeben werden, sondern es genügt die Angabe, ob auf der Nordhalbkugel der Erde oder auf ihrer Südhalbkugel gesegelt wird. Diese Optimierung war eigentlich ganz einfach. Wenn zwei Beobachtungen gemacht worden waren, dann existierten zwei Höhenkreise, die jeweils eine maximale Ausdehnung nach Norden und nach Süden besitzen. Die Standortbreite kann nicht größer sein, als die maximale Nord- bzw. Südausdehnung des kleineren der beobachteten Höhenkreise. Damit liegt eine erste Schätzbreite fest. Die zweite Schätzbreite wurde um 1° näher zum Äquator festgelegt. Der damit berechnete Standort liegt natürlich extrem daneben. Die Mathematik kennt aber das Verfahren der Iteration, der schrittweisen Annäherung durch Wiederholung. So wurde in einem zweiten Schritt die Berechnung mit Schätzbreiten, die diesmal um ± 0,25° neben dem im ersten Gang berechneten Standort angelegt wurden. Das geht dann so weiter. In den folgenden Rechendurchgängen werden die Abstände der Schätzbreiten fortlaufend halbiert. Am Ende liegen sie dann so dicht beieinander, dass die Standlinie quasi zur Tangente wird. Die Breitenberechnungen unterschieden sich bereits nach fünf Iterationen nicht mehr in der vierten Stelle nach dem Komma. Die Standortlänge muss als „Chronometerlänge“ mit der Zeit der ersten Beobachtung errechnet werden.

Aus dem so ermittelten Standort kann nach Berechnung des Azimuts eine Höhenanpassung erfolgen. Dadurch wird der Radius des Höhenkreises von der Position der ersten Beobachtung auf die Position der zweiten Beobachtung hochgerechnet. Bei linearen Standlinien wäre das eine Parallelverschiebung. Mit diesem neuen Höhenkreis wird die ganze Berechnung noch einmal wiederholt und das Ergebnis ist der versegelte Standort. Dieses so optimierte Sumner Verfahren rechnet hochgenau Es gibt keinerlei Einschränkungen in der zu messenden Höhe und eine Angabe von Schätzbreiten ist auch nicht erforderlich. Standortabweichungen können aber trotzdem auftreten, die insbesondere von fehlerhaften Messergebnissen herrühren.

Die Excel Version ist in der Lage zwei Grafiken anzugeben, eine globale Grafik mit den Höhenkreisen und eine Standortgrafik mit dem Verlauf der Höhenkreise in Standortnähe. Zwar sind die Höhenkreise in Wahrheit kreisrunde sphärische Kreise, das aber nur auf einem Globus. In einer 2D Darstellung sind sie deshalb entsprechend verzerrt. Der berechnete Schnittpunkt wird in der Grafik angezeigt.

Eine zweite Darstellung zeigt die Verhältnisse im Standortbereich. Die berechnete Position befindet sich im Mittelmeer, in einiger Entfernung östlich  von Lampedusa. Die grünen Standlinien sind der ersten Beobachtung zugeordnet, wobei die grün gestrichelte auf der wahren Position der ersten Beobachtung beruht und die durchgehend grüne Standlinie nach Einrechnung der Versegelung entstanden ist. Der Versegelungsvektor ist als blauer Pfeil dargestellt. Die Standlinie auf Grundlage der zweiten Beobachtung  erscheint in rot.

Ein Standort wird hier einfach nur berechnet und könnte so auch als Schiffsymbol auf einer elektronischen Karte angezeigt werden. Durch das Ersetzen der Kreisbögen der Höhenkreise im Standortbereich durch lineare Standlinien werden die Berechnungen weitläufig.

Das Höhendifferenzverfahren

Dieses Verfahren wurde 1875 von dem französischen Fregattenkapitän Marcq Saint Hilaire entwickelt. Die Art der Standlinienkonstruktion von Sumner führte in vielen Fällen nicht auf die gewünschte Genauigkeit. So wurde die Konstruktionsweise der Standlinien durch Hilaire für eine optimale zeichnerische Anwendung modifiziert. Ein Download steht unter Navigieren nach Hilaire zur Verfügung.

Die Berechnungen erfolgen prinzipiell in derselben Weise, wie zuvor bei Sumner beschrieben. Auch hier kann die zweite Zeile der Rechentabelle nach unten kopiert werden, wodurch Iterationen bewirkt werden. Dabei wird in jeder neuen Zeile der in der vorhergehenden Zeile berechnete Standort als neuer Schätzort verwendet. So kann der erste Schätzort bis zu 15° daneben liegen und Höhen über 80° verursachen auch keine Probleme mehr.

Wohlgemerkt, das Hilaire Verfahren in Form des Höhendifferenzverfahrens ist eine ganz spezielle Optimierungsform für seine zeichnerische Verwendungsart. Hilaire hat damals nicht darüber nachgedacht, ob seine Optimierung 150 Jahre später auch für digitale Anwendungen vorteilhaft sein könnte, sie ist es leider nicht.

Das Sumner Verfahren ist eine Sehnenkonstruktion zwischen zwei weit auseinanderliegenden Schätzbreiten. Dadurch entsteht über der Sehne ein Kreisbogen, auf dem sich der Standort wahrscheinlich befindet und eben nicht auf der als Standlinie angenommenen Sehne. Hilaire wandte einen Trick an, um das zu ändern, indem er die zwei Schätzbreiten gleich setzte wonach nur noch eine Schätzbreite vorhanden war, die er dann einem Schätzort zuordnete. Weil die Höhe der Sonne für eine vorgegebene Tageszeit für jeden bekannten Ort berechnet werden kann, hat er die Höhe am Schätzort für die Beobachtungszeit der Sonne auf dem Schiff berechnet. Damit ist die Differenz der auf dem Schiff beobachteten Höhe und der berechneten Höhe der Abstand des Schiffes vom Schätzort. Ein Fehler kann sich dadurch ergeben, dass dieser Abstand nicht genau auf der Linie Schätzort und Bildpunkt der Sonne liegen wird.

Die Eingabenmaske der Excel Variante des Höhendifferenzverfahrens besitzt eine zusätzliche Zeile zur Eingabe von Länge und Breite des Schätzortes. Außerdem wurde auch eine Optimierung durch Iteration angewendet. Das Höhendifferenzverfahren führt nämlich nicht auf den Schiffsort, sondern nur auf einen Ort, der dem Schiff wesentlich näher liegt, als der Schätzort. Wird dieser errechnete Ort als neuer Schätzort benutzt und die Berechnung damit erneut durchgeführt, dann kommt man mit jeder weiteren Rechenrunde dem tatsächlichen Schiffsort näher. Das wurde in der Excel Datei getan. Sie rechnet als Standardversion in der ersten Zeile und führt dann vier Iterationen durch. Ab der dritten Iteration treten keine Änderungen mehr auf.

Auch hier besteht der Inhalt der Excel Datei im Nachempfinden der Arbeitsschritte eines früheren Navigators. Der konnte jedoch einfach eine Linie mit Bleistift und Lineal auf Papier ziehen. In einer Programmierung muss für jede Standlinie ein Polynom ersten Grades der Form

\varphi=m\cdot\lambda+b

hergeleitet werden, worin m der Anstieg der Standlinie und b der rechnerische Kreuzungspunkt mit dem Nullmeridian ist. Es gelten:

m=-\tan z\cdot\cos\varphi,  und  b=\varphi-m\cdot\lambda.

Die Parallelverschiebungen der Standlinie um die Intercepte erfolgen mit

b'=b+\Delta h/cos z.

Hierin ist b‘ die Konstante der um das Intercept \Delta h parallel bzw. längs des Azimutstrahls verschobenen Standlinie. Sobald zwei Standlinien vorhanden sind, ergibt sich der Standort aus deren Kreuzung. Wird die erste Standlinie mit a und die zweite mit b bezeichnet, dann sind ma und mb die Anstiege und ba‘ und bb‘ die Konstanten. Daraus folgt für den Standort

\lambda=(ba'-bb')/(mb-ma) und für die Breite \varphi=ma\cdot\lambda+ba'.

Wenn eine Versegelung eingerechnet werden muss, dann ist die Standlinie ma; ba‘ noch einmal zu verschieben. Die Größe des Verschiebungsbetrages ergibt sich aus der Höhenanpassung

  bc=ba'+\Delta h/\cos z.    mit    \Delta h=dmg\cdot\cos(cmg -z)/60

Hierin ist bc die Konstante der auf den versegelten Ort verschobenen Standlinie ma; ba‘ und dmg (distance mad good) sowie cmg (course made good) sind die Versegelungsdaten. Jetzt muss der Standort aus der Kreuzung der verschobenen Standlinie ma; bc mit der Standlinie mb; bb‘ wie vordem gezeigt berechnet werden, indem jedoch ba‘ gegen bc ausgetauscht wird.

Am Ende ist der Formelaufwand sehr viel größer als bei der Gauß Methode und das Standortergebnis wäre auch nur nach einer oder sogar erstb mehreren Iterationen genau, je nach vorgegebener Schätzortposition. Daraus folgt, dass Methoden, bei denen als Zwischenschritt die gebogene Kreislinie eines Höhenkreises im Standortbereich erst in eine Gerade verwandelt werden muss und danach erst der Standort aus der Kreuzung der hergeleiteten Geraden berechnet wird, für Digitalisierungen geradezu ungeeignet sind.

Geometrische Standortbestimmung

Dieses Verfahren ist auch unter den Begriffen „Standort direkt aus den Höhengleichen“ oder „Circle Of Position Navigation“ (COP) bekannt. Welche Rolle Höhengleichen bzw. Höhenkreise dabei spielen sollen, ist allerdings nicht erkennbar, denn das Verfahren ist nichts weiter als eine einfache Dreiecksberechnung. Die Hineininterpretation von Kreisen in die Namensgebung ist wahrscheinlich der lange Zeit vorherrschenden grafischen Navigation entliehen, denn nur die arbeitet mit Tangenten oder Sehnen, die wiederum nur an Kreisen angebracht werden können.

Aus der Beobachtung der Sonne zu zwei verschiedenen Zeiten ergeben sich drei Seiten eines Dreiecks. Die Grundseite dieses Dreiecks ist die Distanz zwischen den Bildpunkten der Sonne und die beiden anderen Seiten sind die jeweils mit einem Sextanten vom Standort aus gemessenen Distanzen zu den Bildpunkten. Damit ist diese Art der Standortberechnung eine Berechnung der Position der polseitigen Ecke des Dreiecks, an der die Distanzen  zu den beiden Bildpunkten zusammentreffen. Die dafür hergestellte Excel Datei kann hier als Zwei Höhen Navigation heruntergeladen werden.

Die Berechnung der Ecke eines Dreiecks ist ein diskretes Verfahren, bei dem der Standort mit einer oder mit mehreren Formeln direkt ausgerechnet wird, während grafische Verfahren indirekte Verfahren sind. Denn dabei werden primär Geraden berechnt und der Standort ergibt sich erst durch die Berechnung eines Kreuzungspunktes dieser Geraden.

Die Programmierung eines Excel Sheets nach diesem Verfahren war ausgesprochen einfach zu bewerkstelligen. Es hakte nur ein wenig an den Zeiten. Der Algorithmus kommt durcheinander, wenn die Zwischenzeiten länger als 12 h betragen, die zweite Beobachtung also an einem Folgetag stattfindet. Dieses Problem kann aber gelöst werden, wenn die Beobachtungsrichtungen Ost oder West in den entsprechenden Formeln berücksichtigt werden.

Mit dem Verfahren wird nur die Breite berechnet. Die Länge kann aber sehr einfach als „Chronometerlänge“ berechnet werden, denn Beobachtungszeiten und Greenwichwinkel sind bekannt. Es lassen sich dieselben Grafiken anfertigen, wie sie oben schon beim Sumner Verfahren gezeigt worden sind. Auch die Ergebnisse sind absolut identisch.

Carl Friedrich Gauß

Die Gauß Methode ist praktisch immer noch unbekannt, denn nach ihrer Veröffentlichung im Jahr 1812 ist sie nie wieder in Erscheinung getreten, nicht national und schon gar nicht international. Zwar wurde und wird immer viel von der Gauß Methode gesprochen und sie wird gern mit zwei Höhengleichen auf einem Globus von 10 Metern Durchmesser erklärt, was jedoch ausgemachter Blödsinn ist. Die Story mit dem riesen Globus kann nämlich nur im Zusammenhang mit grafischen Methoden funktionieren. Warum?

Ein Globus ist ein geometrisches Element mit einer Kugelfläche. Darauf können alle geometrischen Elemente wie Kugeldreiecke,  sphärische Kreise und Linien abgebildet und zu Erklärungszwecken verwendet werden. Doch die Gauß Methode kennt kein einziges geometrisches Element, das auf einer Globusfläche abgebildet werden könnte.

Das ist auch der Grund, weshalb die Gauß Methode weder national noch international jemals Beachtung gefunden hat. Sie hat mit Geometrie oder gar Grafik nicht das Geringste zu tun und besteht fast nur aus einer einzigen Riesenformel, die jedoch schon von Gauß in Substitutionen zelegt worden ist. Diese Substitutionen sind einzeln nicht zu erklären und die Gauß Methode kann auch nicht einfach vermittelt werden.

Die Programmierung der Gauß Methode als Excel Sheet ist an Einfachheit nicht zu überbieten gewesen. Auch die Funktionalität überraschte. So muss die Länge nicht extra berechnet werden. Sie ergibt sich einfach als Summe der Substitutionen \tau und Grt, ohne dass dabei ein Vorzeichen zu beachten ist. Auch die Zwischenzeiten können beliebig groß sein, ohne dass dabei Beobachtungsrichtungen beachtet werden müssen.

Natürlich können aus den Ergebnissen auch Grafiken angefertigt werden. Diese sind dieselben, wie sie oben schon beim Sumner Verfahren gezeigt worden sind. Die Excel Datei kann als navigieren mit gauss Heruntergeladen werden.

Resümee

In der nachstehenden Tabelle sind die Ergebnisse, wie sie mit den verschiedenen Verfahren erzielt wurden, zusammengestellt. Eine Original Sumner Methode wurde gar nicht erst ausprobiert. Dafür aber die Ergebnisse, die man mit linearen Standlinien erreichen kann, wenn vom Original ausgehend eine Optimierung für digitale Verwendung gemacht wird. Es gibt dann im Standortergebnis keinen Unterschied zu Gauß.

Die Ergebnisse in der Tabelle beruhen alle auf gleichen Eingabedaten, die in den vorstehenden Eingabemasken abgebildet sind.

Bezeichnung Schiffslänge Schiffsbreite Schiffsmittag Schätzort
zul. Höhenbereich
Sumner mit Iteration 35° 47,65′ N 019° 34,36′ E 10:38:25 nein >14°
Höhendifferenzverfahren 35° 48,85′ N 19° 33,79′ E 10:39:55 ja 14° < Höhe <80°
mit Iteration 35°47,84 N 019° 34,44 E ja >14°
Zwei Höhen Navigation 35° 47,65′ N 019° 34,36′ E 10:38:25 nein >14°
Gauss 35° 47,65′ N 019° 34,36′ E 10:38:25 nein >14°

Die Ergebnisse und auch die zu leisten gewesenen Aufwendungen zur Schaffung der Excel Dateien lassen nur einen Schluss zu:

Die Schaffung einer Navigations-App ist nur auf der Basis des Gauß-Verfahrens sinnvoll.

  1. Genaue Standorte mit Standlinien sind auch mit dem Sumner Verfahren möglich, wenn dieses speziell für digitale Anwendungen optimiert wird. Das Beispiel soll zeigen, dass ein Computer bessere Möglichkeiten bietet, als die reine Umsetzung der Arbeitsschritte eines Navigators aus dem 19. Jahrhundert in Programmcode.
  2. Dasselbe gilt auch für das Höhendifferenzverfahren. Dieses Verfahren ist nur dann sinnvoll anzuwenden, wenn mit Sonne, Mond, Planeten und Sternen nach alter Tradition auf Papier navigiert wird, was durchaus ein schönes Hobby ist. Daraus jedoch eine App zu machen ist abwegig und inkonsequent. Das Verfahren ist für zeichnerische Verwendungen gemacht worden und nicht für digitale Verwendungen.
  3. Die Zwei-Höhen-Navigation ist ein präzises direktes Verfahren, musste aber zugunsten der grafischen Navigation im 19. Jahrhundert verworfen werden, weil der Rechenaufwand nicht zu beherrschen war. Doch heute gibt es Computer. So ließe sich leicht eine App nach diesem Verfahren machen. Der dazu nötige Aufwand ist jedoch etwas größer, als bei Verwendung der Gauß Methode.
  4. Die Gauß Methode bietet zur Erschaffung einer Navigations-App einfach die besten Voraussetzungen, auch wenn die Formeln nicht gleich verstanden werden. Sie sind jedoch logisch hergeleitet und liefern richtige Ergebnisse, also, wo soll hier ein Problem sein? Wir sind doch gar nicht mehr in der Lage, alle Dinge immer und jederzeit zu verstehen.