Digitalisierung

In diesem Beitrag soll herausgefunden werden, welche Methode sich als Grundlage für eine Astro-Navigations-App eignet.

Der Programmierung einer Computer-App muss eine Planung vorausgehen. Sehr hilfreich ist auch eine vorherige Testung der Methode mit einer Tabellenkalkulation wie Excel. Ein Navigationsprogramm besteht aus mehreren Modulen, die mit einer Tabellenkalkulation sehr effektiv auch einzeln ausgetestet werden können, weil die Ergebnisse sofort, ohne einen Quelltext erst kompilieren zu müssen, zur Verfügung stehen. Ein Excel Sheet bietet eine totale Digitalisierung, ist sehr übersichtlich und lässt sich leicht in jede andere Programmiersprache umsetzten. Für ein Navigationsprogramm in Excel als Vorstufe wären die folgenden Module bereitzustellen:

1. Eingabenmaske: Sie zeigt auf, welche Daten dem Programm übergeben werden müssen. Dazu zählen nicht nur die gemessenen Daten, sondern auch alle Daten für eine Grundeinstellung.
2. Sextantenbeschickung: Da nur der am Sextanten abgelesene Höhenwinkel eingegeben werden soll, muss dieser vor seiner Verwendung mit einem Modul berichtigt werden. Dazu müssen Daten wie Augeshöhe, Refraktion, Indexfehler und Durchmesser der Sonnenscheibe berücksichtigt werden.
3. Sonnenephemeriden: Eine Computer-App sollte in der Lage sein, die Sonnenpositionen selbst berechnen zu können, wodurch der Gebrauch eines nautischen Jahrbuches entfällt. Diese Berechnungen müssen bestimmten Genauigkeitsansprüchen genügen. Es hat sich gezeigt, dass hierbei die Kepler Gleichungen auf der Grundlage des Zweimassensystems Erde-Sonne ausreichende Genauigkeiten bietet.
4. Positionsberechnung: Während die bisher vorgestellten Module für alle Navigationsmethoden gleichermaßen verwendet werden, zeigt sich im Rechenmodul der Unterschied zwischen den Verfahren. Diese Unterschiede treten vor allem im jeweils zu betreibenden Aufwand zutage, aber auch in den erreichbaren Ergebnissen.
5. Grafiken: Was wäre ein Navigationsprogramm ohne Grafiken? Dieses Modul stellt Tabellen auf, die zur Einfügung von Grafiken erforderlich sind.

Im Weiteren werden die entsprechenden Excel Vorprogramme vorgestellt, die geschaffen worden sind, um die beste Auswahl zur Schaffung einer Navigations-App für Mobilgeräte herausfinden zu können. Es ist aber nicht so, dass diese Excel Sheets in der jetzt vorliegenden Form einfach so geschaffen worden sind. Sie alle sind das Ergebnis einer jahrelangen Vorarbeit, in der ihre Module immer wieder getestet und verändert worden sind, bis diese als optimal betrachtet werden konnten.

Sumner Verfahren

Thomas Sumner ist der Erfinder der Navigation mit linearen Standlinien. Er fand eine Lösung, wie der gekrümmte Verlauf einer Höhengleiche im Standortbereich durch eine Gerade ersetzt werden kann. Geraden können im Gegensatz zu Kreisbögen mit Lineal und Bleistift gezeichnet werden. Es ist der Beginn der grafischen Navigation. Durch Beobachtung von zwei verschiedenen Himmelskörpern oder der Sonne zu zwei verschiedenen Zeiten werden zwei Standlinien ermittelt. Der Punkt, an dem sich diese Standlinien kreuzen, ist der Standort des Beobachters. Damit eine grafische Methode funktionieren kann, muss der Standortbereich definiert werden, was Sumner mit zwei Breitenschätzungen erledigte. Das führte zu Restriktionen, die in der Beschreibung des Sumner Verfahrens dargelegt sind. Eine Optimierung des Sumner Verfahrens hinsichtlich einer zeichnerischen Verwendung gelang  30 Jahre später Saint Hilaire.

Eine Programmierung des originalen Sumner Verfahrens wurde aufgrund seiner Nachteile gar nicht erst in Betracht gezogen. Saint Hilaire konnte das Sumner Verfahren hinsichtlich einer zeichnerischen Verwendung optimieren. Heute sollte man sich vielmehr fragen, ob das Sumner Verfahren auch hinsichtlich einer digitalen Verwendung optimiert werden kann. Es gelang tatsächlich. Herausgekommen ist ein Ergebnis in Form eines Excel Sheets, das hier als sumner_Navigation_pro heruntergeladen werden kann.

Darin erfolgt die Positionsberechnung in zwei Tabellen mit den Bezeichnungen „proforma Position“ und „versegelter Standort“. In der obersten Zeile werden in 19 Spalten die Arbeitsgänge eines Navigators nachempfunden. Die Spalte DIFF enthält den Abstand der Schätzbreiten, die in den folgenden vier Spalten für jede Beobachtung verwendet werden und die sich vor jeder neuen Iteration halbieren. Die nächsten acht Spalten dienen zur Berechnung der jeweils errechneten Schnittlängen. Aus den Schnittpunkten werden die Koeffizienten m und b linearer Funktionen der Form y = mx + b aus den beiden Beobachtungen a und b hergeleitet. Die Kreuzungen der daraus gebildeten Polynome liefern den Standort mit = (ba – bb)/(mb – ma) für die Länge und = ma ⋅ + ba für die Breite. In den darunter liegenden Zeilen werden die Schätzbreiten und aus der jeweils zuvor berechneten Breite und dem mit DIFF vorgegebenem Abstand festgelegt. So kann die gesamte zweite Zeile einfach nach unten kopiert werden, was in jeder neuen Zeile eine weitere Iteration ergibt. Schon nach vier Iterationen gibt es dann kaum noch Änderungen und der mit DIFF angegebene Breitenabstand ist durch fortlaufende Halbierung so klein, dass die Sumnerlinien quasi Tangenten geworden sind.

Die Tabelle „Proforma Position“ wird gebraucht, um aus der berechneten Länge den LHA zu bestimmen. Der wird gebraucht, um das Azimut  und weiter daraus die Höhenanpassung durch Versegelung berechnen zu können.  Die zweite Tabelle „versegelter Standort“ ist im Grunde nur eine Kopie, wobei in den Spalten 4 und 8 die Höhe h_ma der ersten Beobachtung durch die angepasste Höhe h_mv nach Versegelung ersetzt wird.

Die Eingabenmaske besteht aus mehreren Blöcken für Einstellungen, den beiden Messungen, der Eingabe einer Versegelung und der Ergebniszeile. Selbst hier dürfte es einem Segler, der sich noch nie mit Astronavigation beschäftigt hat, nicht schwerfallen, damit klarzukommen. Er müsste nur einen Sextanten besitzen und diesen handhaben können.

Im Einstellungsblock sind Indexberichtigungen separat für beide Beobachtungen vorgesehen, was bei Verwendung von Plastiksextanten nötig ist, weil diese stark temperaturabhängig auf den Nullpunktfehler reagieren. Ebenfalls separat kann der beobachtete Sonnenrand gewählt werden. Die Augeshöhe, der Abstand zwischen Wellenkamm und Sextant, muss vorgegeben werden.

Weil das Sumner Verfahren für digitale Anwendungen optimiert werden konnte, müssen keine Schätzbreiten vorgegeben werden, sondern es genügt die Angabe, ob auf der Nordhalbkugel der Erde oder auf ihrer Südhalbkugel gesegelt wird.

Die Optimierung hinsichtlich digitaler Verwendungen ist unglaublich einfach. Nach zwei Beobachtungen existieren zwei Höhenkreise, die jeweils eine maximale Ausdehnung nach Norden und nach Süden haben. Die Standortbreite kann aber nicht größer sein, als die maximale Nord- bzw. Südausdehnung des kleineren der beiden beobachteten Höhenkreise. Damit liegt schon mal eine erste Schätzbreite fest. Die zweite Schätzbreite wurde einfach um 1° näher zum Äquator festgelegt.

Der damit berechnete Standort liegt natürlich extrem daneben. Die Mathematik kennt aber das Verfahren der Iteration, der schrittweisen Annäherung durch Wiederholung. So wurde in einem zweiten Schritt die Berechnung mit Schätzbreiten, die diesmal um ± 0,25° neben dem im ersten Gang berechneten Standort angelegt wurden. Das geht dann so weiter. In den folgenden Rechendurchgängen werden die Abstände der Schätzbreiten fortlaufend halbiert. Am Ende liegen sie dann so dicht beieinander, dass die Standlinie quasi zur Tangente wird. Die Breitenberechnungen unterschieden sich bereits nach fünf Iterationen nicht mehr in der vierten Stelle nach dem Komma. Die Standortlänge muss als „Chronometerlänge“ mit der Zeit der ersten Beobachtung errechnet werden.

Sollen Versegelungen berücksichtigt werden, dann sollte aus dem so ermittelten Standort das Azimut berechnet werden. Das ist nötig, um eine Höhenanpassung vorzunehmen. Damit wird der Radius des Höhenkreises von der Position der ersten Beobachtung auf die Position der zweiten Beobachtung hochgerechnet. Bei linearen Standlinien wäre das eine Parallelverschiebung. Mit diesem neuen Höhenkreis wird die ganze Berechnung noch einmal wiederholt und das Ergebnis ist der versegelte Standort. Dieses so optimierte Sumner Verfahren rechnet sehr genau. Es gibt keinerlei Einschränkungen in der zu messenden Höhe und eine Angabe von Schätzbreiten ist auch nicht erforderlich. Standortabweichungen können aber trotzdem auftreten, die insbesondere von fehlerhaften Höhen- und Zeitmessungen herrühren.

Die Excel Version ist in der Lage zwei Grafiken anzugeben, eine globale Grafik mit den Höhenkreisen und eine Standortgrafik mit dem Verlauf der Höhenkreise in Standortnähe. Zwar sind die Höhenkreise in Wahrheit kreisrunde sphärische Kreise, das aber nur auf einem Globus. In einer 2D Darstellung sind sie deshalb entsprechend verzerrt. Der berechnete Schnittpunkt wird in der Grafik angezeigt.

Eine zweite Darstellung zeigt die Verhältnisse im Standortbereich. Die berechnete Position befindet sich im Mittelmeer, in einiger Entfernung östlich  von Lampedusa. Die grünen Standlinien sind der ersten Beobachtung zugeordnet, wobei die grün gestrichelte auf der wahren Position der ersten Beobachtung beruht und die durchgehend grüne Standlinie nach Einrechnung der Versegelung entstanden ist. Der Versegelungsvektor ist als blauer Pfeil dargestellt. Die Standlinie auf Grundlage der zweiten Beobachtung  erscheint in rot.

Ein Standort wird hier einfach nur berechnet und könnte so auch als Schiffsymbol auf einer elektronischen Karte angezeigt werden. Durch das Ersetzen der Kreisbögen der Höhenkreise im Standortbereich durch lineare Standlinien weitet sich die Anzahl der notwendigen Berechnungen allerdings aus.

Das Höhendifferenzverfahren

Dieses Verfahren wurde 1875 von dem französischen Fregattenkapitän Marcq Saint Hilaire entwickelt. Die Art der Standlinienkonstruktion von Sumner führte in vielen Fällen nicht auf die gewünschte Genauigkeit. So wurde die Konstruktionsweise der Standlinien durch Hilaire für eine optimale zeichnerische Anwendung modifiziert. Ein Download steht unter Navigieren-nach-Hilaire zur Verfügung.

Die Berechnungen in der Rechentabelle erfolgen prinzipiell in derselben Weise, wie zuvor bei Sumner beschrieben. Auch hier kann die zweite Zeile der Rechentabelle nach unten kopiert werden, was zu weiteren Iterationen führt. Dabei wird in jeder neuen Zeile der in der vorhergehenden Zeile berechnete Standort als neuer Schätzort verwendet. So kann der erste Schätzort bis zu 15° daneben liegen und Höhen über 80° verursachen auch keine Probleme mehr.

Wohlgemerkt, das Hilaire Verfahren in Form des Höhendifferenzverfahrens ist eine ganz spezielle Optimierungsform der Sumner Methode für zeichnerische Verwendungen. Hilaire hat damals nicht darüber nachgedacht, ob seine Optimierung 150 Jahre später auch für digitale Anwendungen vorteilhaft sein könnte. Leider ist sie es nicht.

Das Sumner Verfahren ist eine Sehnenkonstruktion zwischen zwei weit auseinanderliegenden Schätzbreiten. Dadurch entsteht über der Sehne ein Kreisbogen, auf dem sich der Standort wahrscheinlich befindet und eben nicht auf der als Standlinie angenommenen Sehne. Hilaire verkleinerte die Distanz zwischen den beiden Schätzbreiten auf null. Dadurch existiert jetzt nur noch eine Schätzbreite. Wird dafür eine Länge berechnet, dann ist das Ergebnis ein Schätzort.

Anstelle der zwei naheliegenden Schätzbreiten bei Sumner kann also auch ein naheliegender Schätzort definiert werden. Für diesen Schätzort kann das Azimut und die Höhe des Himmelskörpers für die Beobachtungszeit berechnet werden. Die zur gleichen Zeit auf dem Schiff festgestellte Sonnenhöhe unterscheidet sich von der für den Schätzort berechneten Gestirnshöhe. Diese Differenz wird auch als Intercept bezeichnet. Der Unterschied in Bogenminuten ist gleich der Entfernung in Seemeilen des Schiffes vom Schätzort. Wird auf dem Schiff eine größere Höhe gemessen, dann liegt der Standort näher zur Sonne, als der Schätzort. Die Standlinie ist ein Senkrechte zum Azimut und wird am ermittelten Standort eingezeichnet.

Das Verfahren geht davon aus, dass beide Orte, also Gissort und Standort auf dem Azimutstrahl liegen. Das ist aber kaum gegeben und so wirkt sich dieser Fehler nur dann sehr wenig aus, wenn die Radien der Höhengleichen groß sind. Deshalb sollten Höhen von mehr als 80°, manche Autoren sagen sogar 70°, nicht mehr gemessen und verwendet werden.

Die Eingabenmaske der Excel Variante des Höhendifferenzverfahrens besitzt eine zusätzliche Zeile zur Eingabe von Länge und Breite des Schätzortes. Außerdem gibt es zwei Ergebniszeilen, eine für das Standard Ergebnis des Höhendifferenzverfahrens und eine zweite Zeile für das Ergebnis nach Iteration. Das Höhendifferenzverfahren kann gar nicht direkt auf den Schiffsort führen, sondern immer nur auf einen Ort, der dem Schiff wesentlich näher liegt, als der Schätzort.

Wenn der errechnete Standort in einer ersten Iteration als Schätzort für eine zweite Berechnung benutzt wird, ergibt das ein sehr genaues Ergebnis. Weitere Iteratinen führen nur noch dazu, dass der Schätzort sehr hemdsärmelig vorgegeben werden kann.

Auch hier besteht der Inhalt der Excel Datei im Nachempfinden der Arbeitsschritte eines früheren Navigators. Der zog eine Linie mit Bleistift und Lineal auf dem Papier. In einer Programmierung muss für jede Linie ein Polynom ersten Grades der Form

hergeleitet werden, worin m der Anstieg und b der rechnerische Kreuzungspunkt mit dem Nullmeridian ist. Es gelten:

  und  

Die Parallelverschiebungen der Standlinie um die Intercepte erfolgen mit

Hierin ist b‘ die Konstante der um das Intercept längs des Azimutstrahls verschobenen Standlinie. Sobald zwei Standlinien vorhanden sind, ergibt sich der Standort aus deren Kreuzung. Wird die erste Standlinie mit a und die zweite mit b bezeichnet, dann sind ma und mb die Anstiege und ba‘ und bb‘ die Konstanten. Daraus folgt für den Standort

und für die Breite

Wenn eine Versegelung eingerechnet werden muss, dann ist die Standlinie ma; ba‘ noch einmal zu verschieben. Die Größe des Verschiebungsbetrages ergibt sich aus der Höhenanpassung

      mit   

Hierin ist bc die Konstante der auf den versegelten Ort verschobenen Standlinie ma; ba‘ und dmg (distance made good) sowie cmg (course made good) sind die Versegelungsdaten. Jetzt muss der Standort aus der Kreuzung der verschobenen Standlinie ma; bc mit der Standlinie mb; bb‘ wie vordem gezeigt berechnet werden, indem jedoch ba‘ gegen bc ausgetauscht wird.

Am Ende ist der Formelaufwand sehr viel größer als bei der Gauß Methode und das Standortergebnis wäre auch nur nach einer oder sogar erst mehreren Iterationen genau, je nach vorgegebener Schätzortposition. Daraus folgt, dass Methoden, bei denen als Zwischenschritt die gebogene Kreislinie eines Höhenkreises im Standortbereich erst in eine Gerade verwandelt werden muss und erst danach in einem zweiten Schritt der Standort aus der Kreuzung der hergeleiteten Geraden berechnet wird, für Digitalisierungen geradezu ungeeignet sind.

Geometrische Standortbestimmung

Dieses Verfahren ist auch unter den Begriffen „Standort direkt aus den Höhengleichen“ oder „Circle Of Position Navigation“ (COP) bekannt. Welche Rolle Höhengleichen bzw. Höhenkreise dabei spielen sollen, ist allerdings nicht erkennbar, denn das Verfahren ist nichts weiter als eine einfache Dreiecksberechnung. Die Hineininterpretation von Kreisen in die Namensgebung ist wahrscheinlich der lange Zeit vorherrschenden grafischen Navigation entliehen, denn nur die arbeitet mit Tangenten oder Sehnen, die wiederum nur an Kreisen angebracht werden können.

Aus der Beobachtung der Sonne zu zwei verschiedenen Zeiten ergeben sich drei Seiten eines Dreiecks. Die Grundseite dieses Dreiecks ist die Distanz zwischen den Bildpunkten der Sonne und die beiden anderen Seiten sind die jeweiligen Poldistanzen der Deklinationen. Ein zentrales Dreieck besitzt die gleiche Grundseite und die zwei noch fehlenden Seiten sind die Zenitdistanzen aus beiden Beobachtungen.

Damit ist diese Art der Standortberechnung eine Berechnung der Position der polseitigen Ecke des zentralen Dreiecks. Die dafür angefertigte Excel Datei kann hier als Zwei-Hoehen-Navigation heruntergeladen werden.

Die Berechnung der Ecke eines Dreiecks ist ein diskretes Verfahren, bei dem der Standort unter Anwendung aufeinanderfolgender Formeln direkt ausgerechnet wird, während grafische Verfahren indirekte Verfahren sind. Dabei werden primär Geraden berechnt und der Standort ergibt sich sekundär6 durch die Berechnung eines Kreuzungspunktes dieser Geraden.

Die Programmierung eines Excel Sheets nach diesem Verfahren ist relativ einfach zu bewerkstelligen. Es hakte letztlich nur ein wenig an den Zeiten. Der Algorithmus kommt durcheinander, wenn die Zwischenzeiten länger als 12 h betragen, die zweite Beobachtung also an einem Folgetag stattfindet. Dieses Problem kann aber gelöst werden, wenn die Beobachtungsrichtungen Ost oder West in den entsprechenden Formeln berücksichtigt werden.

Mit dem Verfahren wird nur die Breite berechnet. Die Länge kann aber als „Chronometerlänge“ berechnet werden, denn Beobachtungszeiten und Greenwichwinkel sind bekannt. Es lassen sich dieselben Grafiken anfertigen, wie sie oben schon beim Sumner Verfahren gezeigt worden sind. Auch die Ergebnisse sind absolut identisch.

Carl Friedrich Gauß

Die Gauß Methode ist praktisch immer noch unbekannt, denn nach ihrer Veröffentlichung im Jahr 1812 ist sie nie wieder in Erscheinung getreten, nicht national und schon gar nicht international. Zwar wurde und wird immer viel von der Gauß Methode gesprochen und sie wird gern mit zwei Höhengleichen auf einem Globus von 10 Metern Durchmesser erklärt, was jedoch ausgemachter Blödsinn ist. Die Story mit dem riesen Globus kann nämlich nur im Zusammenhang mit geometrischen Methoden funktionieren. Warum?

Ein Globus ist ein geometrisches Element mit einer Kugelfläche. Darauf können alle geometrischen Elemente wie Kugeldreiecke,  sphärische Kreise und Linien abgebildet und zu Erklärungszwecken verwendet werden. Doch die Gauß Methode kennt kein einziges geometrisches Element, das auf einer Globusfläche abgebildet werden könnte.

Das ist auch der Grund, weshalb die Gauß Methode weder national noch international jemals Beachtung gefunden hat. Sie hat mit Geometrie oder gar Grafik nicht das Geringste zu tun und besteht im wesentlichen nur aus Substitutionen, mit denen der Standort dann problemlos berechnet wird. Diese Substitutionen sind einzeln nicht zu erklären und deshalb kann die Gauß Methode auch nicht einfach vermittelt werden.

Die Programmierung der Gauß Methode als Excel Sheet ist an Einfachheit nicht zu überbieten gewesen. Auch die Funktionalität überraschte. So muss die Länge nicht extra berechnet werden. Sie ergibt sich einfach als Summe der Grundlänge und Grt, ohne dass dabei ein Vorzeichen zu beachten ist. Auch die Zwischenzeiten können beliebig groß sein, ohne dass dabei Beobachtungsrichtungen beachtet werden müssen.

Natürlich können aus den Ergebnissen auch Grafiken hergeleitet werden. Diese sind dieselben, wie sie oben schon beim Sumner Verfahren gezeigt worden sind. Die Excel Datei kann als navigieren-mit-Gauss heruntergeladen werden.

Resümee

In der nachstehenden Tabelle sind die Ergebnisse, wie sie mit den verschiedenen Verfahren erzielt wurden, zusammengestellt. Eine Original Sumner Methode ist nicht dabei. Dafür aber die Ergebnisse, die man erreichen kann, wenn vom Original ausgehend eine Optimierung für digitale Verwendung gemacht wird. Es gibt dann im Standortergebnis keinen Unterschied zu Gauß.

Die Ergebnisse in der Tabelle beruhen alle auf gleichen Eingabedaten, die in den vorstehenden Eingabemasken abgebildet sind.

Bezeichnung	Schiffslänge	Schiffsbreite	Schiffsmittag	Schätzort	zul. Höhenbereich
Sumner mit Iteration	35° 47,65′ N	019° 34,36′ E	10:38:25	nein	>14°
Höhendifferenzverfahren	35° 48,85′ N	19° 33,79′ E	10:39:55	ja	14° < Höhe <80°
mit Iteration	35°47,84 N	019° 34,44 E		ja	>14°
Zwei Höhen Navigation	35° 47,65′ N	019° 34,36′ E	10:38:25	nein	>14°
Gauss	35° 47,65′ N	019° 34,36′ E	10:38:25	nein	>14°

Die Ergebnisse und auch die Aufwendungen zur Schaffung der Excel Dateien lassen nur einen Schluss zu:

Die Schaffung einer Navigations-App ist nur auf der Basis des Gauß-Verfahrens sinnvoll.

1. Genaue Standorte mit Standlinien sind auch mit dem Sumner Verfahren möglich, wenn dieses speziell für digitale Anwendungen optimiert wird. Das Beispiel soll zeigen, dass ein Computer dafür beste Möglichkeiten bietet. Der Programmieraufwand ist jedoch hoch.
2. Das Höhendifferenzverfahren ist nur dann sinnvoll anzuwenden, wenn mit Sonne, Mond, Planeten und Sternen nach alter Tradition auf Papier navigiert wird, was durchaus ein schönes Hobby ist. Daraus jedoch eine App zu machen ist Unfug. Das Verfahren ist für zeichnerische Verwendungen gemacht worden und nicht für digitale Verwendungen.
3. Die Zwei-Höhen-Navigation ist ein präzises direktes Verfahren, musste aber zugunsten der grafischen Navigation im 19. Jahrhundert verworfen werden, weil der Rechenaufwand nicht zu beherrschen war. Das Verfahren kann einfach in Computercode umgewandelt werden. Schwierigkeiten machen die an vielen Stellen zu beachtenden Beobachtungsrichtungen der Sonne Ost oder West. Dadurch ist der Aufwand größer als bei Verwendung der Gauß Methode.
4. Die Gauß Methode bietet zur Erschaffung einer Navigations-App einfach die besten Voraussetzungen, auch wenn die Formeln nicht verstanden werden. Sie sind jedoch logisch hergeleitet und liefern richtige Ergebnisse, also, wo soll hier ein Problem sein?