Sun Almanac - Astronavigation: Mit dem Sextanten unterwegs

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Eine Standortbestimmung mit der Sonne als Navigationsstern ist nur möglich, wenn die Positionen der Sonne, besser gesagt die ihres Bildpunktes, bekannt sind.
Die Daten von GHA und δ aller zur Navigation geeigneten Himmelskörper werden in nautischen Jahrbüchern veröffentlicht. Bei der Navigation ausschließlich mit der Sonne genügt ein sogenannter Sonnenalmanach. Diese Almanache sind, wie der Name es schon sagt, jeweils für ein bestimmtes Jahr gültig und müssen folglich regelmäßig aktualisiert werden.
Die Verwendung einer Computer-App zur Navigation wäre recht umständlich, wenn neben Höhe und Zeitpunkt jeder Beobachtung auch noch die Bildpunktpositionen aus einem gedruckten Almanach entnommen und eingetippt werden müssten. Deshalb besitzen solche Programme ein Modul, das diese Positionen aus der eingegebenen Beobachtungszeit berechnet. Die Berechnungsergebnisse dieser Module können von den Angaben in einem nautischen Jahrbuch, die von Großrechnern erstellt wurden, etwas abweichen. Im Beitrag Fehlerbetrachtunge werden wir diese Auswirkungen genauer untersuchen und aufzeigen, dass sie in der Praxis so gut wie keine Auswirkungen haben.
Ein Blick in ein nautisches Jahrbuch zeigt, dass die Sonne ihren höchsten Stand am Nullmeridian in Greenwich nichttäglich um 12:00 UT1 erreicht. Vielmehr variiert der Zeitpunkt im Laufe des Jahres um bis zu etwa 15 Minuten. Die Sonne hat nämlich ihren eigenen Zeitverlauf, der sich vom Zeitverlauf unserer technischen Uhren unterscheidet. Mechanische Uhren, Chronometer, Quarzuhren und Atomuhren laufen absolut gleichmäßig. Die Sonne bewegt sich scheinbar mal schneller und mal langsamer. Die Sonnenzeit wird von Sonnenuhren angezeigt, während technische Uhren die mittlere Zeit eines Jahres messen.
Da eine Navigation mit der Sonne nur mit der Sonnenzeit möglich ist, ein Navigator aber nur die Zeit einer sogenannten Räderuhr zur Verfügung hat, muss diese mit einer Ausgleichszeit korrigiert werden. Diese Ausgleichszeit wird von der sogenannten Zeitgleichung geliefert. Mit einer Gleichung im mathematischen Sinn hat die Zeitgleichung nichts zu tun. Sie wird für jedes Jahr meist in Form einer Tabelle ausgegeben.
Früher musste die Chronometerzeit, in der eine Sonnenhöhe festgestellt wurde, immer mit der Zeitgleichung korrigiert werden. In den Daten heutiger nautischer Jahrbücher ist die Zeitgleichung integriert, indem die für eine Chronometerzeit aufzusuchenden Daten für GHA und $\delta$ immer für die zugehörige Sonnenzeit angegeben werden.
Die Existenz einer Zeitgleichung wird bereits seit der Antike vermutet. Schon der antike Astronom Ptolemäus erkannte im 2. Jahrhundert n. Chr., dass die Sonnentage über das Jahr hinweg nicht exakt gleich lang sind. Doch erst nach Bekanntwerden der Keplerschen Gesetze wurde sie greifbar und 1672 von John Flamsteed (1646–1719) erstmals berechnet. Dieses Naturereignis, das allgemein wenigen bekannt, aber für die Navigation mit der Sonne unerlässlich ist, soll im Folgenden näher untersucht werden.

1 Schiefe der Ekliptik

Die Zeitgleichung wird von zwei unabhängigen Geschehnissen beeinflusst. Das ist zum einen die Tatsache, dass die Erdachse gegenüber der Ekliptikebene konstant mit 23,44° schief steht, wie dies im nachstehenden Bild dargestellt ist.

**Bild 1: Die Erde auf ihrer Umlaufbahn. Aus Sicht der Sonne steht die Erdachse an den Tagundnachtgleichen mit 23,44 ° mal positiv und mal negativ schräg und in den Sonnenwenden scheinbar senkrecht.**

Während der Umkreisung der Sonne scheint die Erdachse dadurch zu taumeln. An den Äquinoktien, also am Frühlings- und Herbstanfang, steht sie aus Sicht der Sonne gesehen jeweils entgegengesetzt schief. Am Herbstanfang scheint die Nordhalbkugel voranzugehen und am Frühlingsanfang ist es die Südhalbkugel.  In den Sonnenwenden im Sommer und Winter steht die Erdachse im selben Maße schief zur Ekliptikebene. Doch von der Sonne aus gesehen scheint sie senkrecht zu stehen, weil dann die Nord- oder Südhalbkugel der Sonne zugeneigt und von ihr jeweils direkter angestrahlt wird. Daraus ergeben sich die Jahreszeiten. Die Erdachse nimmt also an jedem Tag des Jahres aus Sicht der Sonne eine andere Schrägstellung ein.

Die Erde dreht sich sehr gleichmäßig und eine Drehung der Erde um 360° dauert 23 Stunden, 56 Minuten und 4,0905 Sekunden. Diese Zeit ist ein Sterntag (Synodischer Tag), weil sich auf einem Meridian nach jeweils einem Sterntag immer wieder derselbe Fixsternenhimmel ausbreitet. Während die Erde rotiert, kommt sie auf ihrer Bahn um die Sonne jeden Tag ein Stück weiter – und das hat einige Auswirkungen.

Bild 2 zeigt die Erde in der Position 1, wo die Sonne auf einem ihr gerade zugewandten Meridian kulminiert. Nach mehreren vollen Erdumdrehungen von jeweils 360° ist die Erde auf ihrer Umlaufbahn ein Stück vorangekommen und befindet sich in Position 2. Doch derselbe Meridian, der sich in Position 1 noch der Mitte der Sonne zuwandte und vom Sonnenbildpunkt getroffen wurde, zeigt jetzt an der Sonne vorbei auf die Himmelskugel mit den Fixsternen.

**Bild 2: Die Erde auf ihrer Umlaufbahn. Aus Sicht der Sonne steht die Erdachse an den Tagundnachtgleichen mit 23,44 ° mal positiv und mal negativ schräg und in den Sonnenwenden scheinbar senkrecht.**

Damit derselbe Meridian an einem jeweils folgenden Tag immer wieder genau auf die Mitte der Sonnenscheibe zeigt, muss sich die Erde täglich etwa vier Minuten weiterdrehen, und dadurch kommen wir auf 24 Stunden, die ein Sonnentag (Siderischert Tag) dauert.

Wenn täglich immer etwa vier Minuten zum Sterntag addiert werden, damit die
Sonne auf demselben Meridian kulminiert, erklärt das noch keinen Zeitunterschied zwischen der Zeit einer Räderuhr und der Sonnenzeit. Wir wissen, dass neben der Schiefe der Erdachse auch die leicht elliptische Umlaufbahn Einfluss auf die Zeitgleichung nimmt. Deshalb wollen wir diese beiden Vorgänge, Schiefe der Ekliptik und Elliptizität, nach dem Superpositionsprinzip getrennt untersuchen und am Ende zusammenführen.

Um den Einfluss der Schiefe der Ekliptik ungestört separat betrachten zu können, legen wir fest, dass die Erde die Sonne auf einer exakt kreisförmigen Umlaufbahn umrunden soll. Außerdem legen wir fest, dass diese Umrundung mit einer absolut konstanten Geschwindigkeit erfolgt. Für die weiteren Untersuchungen benötigen wir einige Daten. Das sind:

Erdrotation:  ω_⊕ = 360°/24 h ➞ 1°/4 min
Bahngeschwindigkeit:   υ_u = 360°/a ➞ 0,9856°/d
Deklination: δ  = 0° bis ±23,44°

Die Erde bewegt sich pro Tag um 360° dividiert durch 365,25 Tage, also um 0,9856° auf ihrer Umlaufbahn weiter, weshalb sie sich täglich um denselben Winkel nachdrehen müsste. Dabei legt etwa 2,75 Millionen Kilometer zurück.
Wir schauen uns jetzt die linke Hälfte von Bild 3 an. Sie zeigt die Verhältnisse am Frühlingsanfang. Der Sonnenbildpunkt trifft die Erde auf dem Äquator, sodass die Nord- und Südhalbkugel gleichermaßen bestrahlt werden. Mit v ist die Bewegungsrichtung der Erde auf ihrer Umlaufbahn bezeichnet. Die Sonne nimmt die entgegengesetzte Richtung. Weil die Erdachse um ε = 23,44° geneigt ist, neigt sich der Äquator im selben Winkel und wird in dieser Lage schräg von der Sonne überquert. Ein Teil ihrer täglichen Bewegung geht somit auf den Nordkurs von der Süd- auf die Nordhalbkugel. Dadurch wandert sie in der für die Zeitmessung relevanten Ost-West-Richtung langsamer.

Bild 3: Die Sonne wandert über den gekippten Äquator nach Norden, und verkürzt dadurch den Nachdrehwinkel (links). Der Bildpunkt auf dem Breitenkreis der maximalen Deklination führt zu einem größeren Nachdrehwinkel auf dem Äquator (rechts).

Nach ihrer vollen Eigenrotation von 360° muss die Erde deshalb weniger weit nachdrehen, bis der im Bild grün gezeichnete Vortagsmeridian den Bildpunkt für die folgende Kulmination erreicht. Der Sonnentag am Frühlingsanfang ist somit kürzer als ein mittlerer Sonnentag, und eine Räderuhr hat während der Kulmination der Sonne den Stand von 24 Stunden noch nicht erreicht. Um herauszufinden, wie groß die Differenz zwischen mittlerer und tatsächlicher Nachdrehzeit am Frühlingsanfang ist, sehen wir uns das rechtwinklige sphärische Dreieck an. Seine Hypotenuse υ_u hat die Länge der mittleren Tagesetappe von 0,9856° auf der Umlaufbahn. Die Katheten bestehen aus einem kurzen Abschnitt des Vortagsmeridians und dem Drehwinkel α auf dem Äquator. Der rechte Winkel existiert zwischen Vortagsmeridian und Äquator. Damit dieser Meridian den Bildpunkt erreicht, muss der Äquator den Winkel α abdrehen. Aus dem Formelbuch entnehmen wir für die Berechnung dieses Dreiecks:

$\alpha=\tan^{-1}(\tan\nu_u\cdot\cos \epsilon)$

Nach Einsetzen der Zahlen für υ_u = 0,9856° und ε = 23,44° erhalten wir für den Winkel α einen Wert von 0,904°. Mit der Geschwindigkeit der Erdrotation von 1° pro 4 Minuten dauert die Nachdrehung 3,6171 Minuten, während die mittlere Nachdrehzeit 3,9424 Minuten beträgt. Als Differenz aus diesen Zeiten ergeben sich 19,584 Sekunden, die ein Sonnentag am Frühlingsanfang kürzer ist, als ein mittlerer Sonnentag.

Auf ihrem weiteren Weg auf der Umlaufbahn in Richtung Sommersonnenwende scheint sich die Erdachse aus Sicht der Sonne aufzurichten, wobei sich gleichsam die Nordhalbkugel der Erde der Sonne zuneigt, wie man sich das beim Betrachten von Bild 1 vorstellen kann. Der Bildpunkt der Sonne trifft mit jedem weiteren Tag die Erde nördlicher, nämlich immer auf der Deklinationsbreite. Bis zur Sonnenwende dreht sich die Erde 91 Mal und der Bildpunkt zeichnet dabei auf der Erdoberfläche eine nach Norden verlaufende Spiralbahn mit Windungen, die bis zum Erreichen der maximalen Deklination immer enger zusammenliegen. Genau zur Sommersonnenwende steht die Erdachse von der Sonne aus gesehen senkrecht, ist aber mit 23,44° zur Sonne hin gekippt. Dadurch wird die Nordhalbkugel von der Sonne stärker bestrahlt. Diesen Zustand zeigt die rechte Seite von Bild 3.

In der Sommersonnenwende steht die Sonne am höchsten Punkt ihrer Bahn und ihre Bewegung verläuft für kurze Zeit absolut parallel zum Äquator. Zudem liegen die Längengrade (Meridiane) näher zu den Polen enger zusammen als am Äquator. Ein Schritt von 0,9856° in dieser Höhe auf der Umlaufbahn überspannt deshalb einen größeren Winkelanteil in den Längengraden. Der projizierte Schritt auf den Äquator berechnet sich mit der Formel

$\alpha=\frac{\nu_u}{\cos\epsilon}$

Nach Einsetzen der Werte erhält man dafür einen Winkel von 1,075°. Die Erde muss mehr nachdrehen, und der Sonnentag ist mit 4,299 min länger, als ein 3,9424 Sekunden langer mittlerer Sonnentag, und zwar um 21,39 Sekunden.

Ab dem Frühlingsanfang, an dem die Tage kürzer sind, summieren sich die Differenzen zwischen der mittleren und der tatsächlichen Nachdrehzeit. Eine Uhr muss jeden Tag einige Sekunden länger laufen, um auf 24 Stunden zu kommen. Mit zunehmender Deklinationsbreite summieren sich aber auch die entgegengesetzt wirkenden Zeitdifferenzen, bei denen die Nachdrehzeit länger wird. In den ersten Tagen nach der Sonnenwende würde deshalb eine Räderuhr im Vergleich zu einer Sonnenuhr immer vorgehen und nach 45 Tagen sogar um 9,85 Minuten voraus sein. In den danach folgenden Tagen überwiegt jedoch der Einfluss der größer werdenden Deklination, die nach weiteren 46 Tagen in der Sommersonnenwende am stärksten ist. Dieser Einfluss bleibt dann noch weitere 46 Tage erhalten, wird dann aber von der Wirkung der dieses Mal zur entgegengesetzt geneigten Erdachse abgebaut. Nach weiteren 45 Tagen stellt sich zum Herbstanfang wieder derselbe Zustand ein, wie am Frühlingsanfang, nur dass jetzt die Sonne den Äquator von der Nordhalbkugel zur Südhalbkugel gehend überquert. Auf diese Weise entstehen über ein Jahr gesehen zwei volle, etwa sinusförmige Schwingungen, die als strichpunktierte Kurve im Bild 6 dargestellt sind.

2 Elliptizität der Erdbahn

Wir kommen jetzt zum zweiten Geschehnis, auf dem die Zeitgleichung beruht, und das ist die Form der Umlaufbahn der Erde um die Sonne. Gemäß dem ersten Keplerschen Gesetz umkreist die Erde die Sonne auf einer elliptischen Bahn, wobei sich die Sonne in einem Brennpunkt dieser Ellipse befindet. Die Form der Ellipse weicht nicht wesentlich von einem Kreis ab, denn ihre numerische Exzentrizität ist mit 0,0167 recht gering. In einer maßstabgerechten Zeichnung könnte man die tatsächlich elliptische Umlaufbahn optisch von einem Kreis gar nicht unterscheiden. Die Darstellung im Bild 4 ist deshalb stark übertrieben.

Im Winter auf der Nordhalbkugel ist die Entfernung zwischen Erde und Sonne am geringsten. Dann erscheint ihre Scheibe auch ein klein wenig größer. Im Sommer hat die Erde zur Sonne den größten Abstand. Der kleinste und der größte Abstand zur Sonne sind der Perihel und der Aphel. Sie bilden die Enden der Hauptachse der Ellipse. Sie stimmen jedoch nicht ganz mit den Sonnenwenden überein. An den Sonnenwenden hat die Sonne ihre größte nördliche oder größte südliche Höhe über dem Horizont. Der Perihel wird gegenwärtig am 2. Januar erreicht, während die Sonne ihren niedrigsten Stand auf der Nordhalbkugel bereits am 21. Dezember hat. Der Perihel ändert sich in 60 Jahren um etwa einen Tag.

Am Perihel ist die Massenanziehung zwischen Erde und Sonne am größten. Damit die Erde dadurch nicht in die Sonne stürzt, wird ihre Bahngeschwindigkeit und damit ihre Fliehkraft größer. Dies hat Kepler in seinem zweiten Gesetz exakt so beschrieben:

„Ein von der Sonne zum Planeten gezogener Fahrstrahl überstreicht in gleichen Zeiten gleich große Flächen.“

Bild 4 zeigt das schematisch. Die Flächen A1 und A2 sind gleich groß und werden von einem Fahrstrahl zwischen Erde und Sonne in einem gleich großen Zeitintervall t überstrichen. Die Bahngeschwindigkeit der Erde ist bei dieser Betrachtung logischerweise dann am größten, wenn in derselben Zeit t die längere Strecke zurückgelegt wird.

**Bild 4: Grafik zum 1. und 2. Keplerschen Gesetz**

Zur Untersuchung des Einflusses ausschließlich der unterschiedlichen Geschwindigkeiten müssen wir vorerst andere Einflüsse fernhalten. Deshalb legen wir fest, dass die Erdachse immer senkrecht steht und der tägliche Nachdrehwinkel 360°/365,26 Tage beträgt. Das ergibt dann einen Nachdrehwinkel von 0,9856° und eine Nachdrehzeit von 3,9424 Minuten. Wenn täglich immer nur genau vier Minuten zum Sterntag addiert werden, damit die Sonne auf demselben Meridian kulminiert, ergibt das noch keinen Zeitunterschied zwischen Räderuhr und Sonnenzeit. Deshalb betrachten wir Bild 4 genauer. In Sonnennähe bewegt sich die Erde auf ihrer Bahn schneller, wodurch sie innerhalb einer Tagesetappe auf ihrer Umlaufbahn ein Stück weiter vorankommt als in Sonnenferne. Sie lässt dadurch die Sonne jeden Tag etwas weiter zurück und muss darum auch jeden Tag etwas länger als vier Minuten nachdrehen. In Richtung Sommer auf der Nordhalbkugel entfernt sich die Erde wieder von der Sonne und ihre Bahngeschwindigkeit nimmt ab. Sie legt jetzt auf ihrer Bahn in jeder Tagesetappe etwas kürzere Stücke zurück. Dadurch lässt sie die Sonne nach jeder Eigendrehung nicht mehr so weit hinter sich. Dafür muss sie jetzt auch weniger nachdrehen und ihre Nachdrehzeiten werden kürzer als vier Minuten.
Die daraus resultierende Änderung der wahren Tageslänge zwischen zwei Tagen beträgt maximal etwa ±8 Sekunden. Da sich die Zeiten summieren, ergibt sich innerhalb eines Jahres eine maximale Schwankung der wahren Sonnenzeit um etwa ±7,5 Minuten in einem angenähert sinusförmigen Verlauf, der in Bild 6 als gestrichelte Linie dargestellt ist.

3 Berechnungsmodell

Für eine genauere und umfassendere Berechnung muss auf das Kepler-Modell zurückgegriffen werden. Das ist ein Zweimassenmodell, das nur die Massen von Erde und Sonne berücksichtigt und die Massen von Mond und den großen Planeten vernachlässigt. Dadurch entstehende Abweichungen sind jedoch nicht erheblich. In einer Längenberechnung würden sie Fehler von bis zu etwa 0,5’ verursachen und spielen deshalb in einer praktischen Navigation keine allzu große Rolle. Fehler bei der Messung von Zeit und Höhe bewirken größere Abweichungen. Bild 5 zeigt das zur Berechnung geeignete Modell einer geozentrischen Darstellung des Systems Erde-Sonne, wie man es von der Erde aus wahrnimmt.

Letztendlich ist es egal, von welcher Warte aus die Gesetzmäßigkeiten betrachtet werden. Sie sind immer gleich. Lediglich hinsichtlich der Anschauung ist es günstig, die Warte zu wechseln und mal ein geozentrisches wie in Bild 5 und ein anderes Mal ein heliozentrisches Modell wie in Bild 1 zu betrachten. Das Modell zeigt die Himmelskugel mit der rotierenden Erde im Mittelpunkt. Die Sonne S umrundet die Erde einmal im Jahr auf ihrer ekliptischen Bahn, die zum Himmelsäquator und auch zum Erdäquator die gleiche Schräge von $epsilon$ besitzt, mit einer völlig gleichmäßigen Geschwindigkeit.

**Bild 5: Die Erde im Zentrum der Himmelkugel**

Vom Frühlingspunkt ausgehend, das ist einer der beiden Schnittpunkte von Himmelsäquator und Ekliptik an der Himmelskugel, bewegt sich die Sonne nordwärts und bescheint die Nordhalbkugel der Erde zunehmend direkter. Dabei erreicht sie als nördlichsten Punkt die Sommersonnenwende So und bewegt sich danach auf ihrer Bahn wieder südwärts.

Genau am Herbstanfang, dem zweiten Schnittpunkt von Äquatorebene und Ebene der Ekliptik, passiert der Bildpunkt den Äquator und bewegt sich dann weiter südwärts, wobei die Sonne die Südhalbkugel direkter bestrahlt. Schließlich passiert die Sonne die Wintersonnenwende Wi und erreicht zum Abschluss der Umrundung wieder den Frühlingspunkt.

Auf dem Himmelsäquator soll eine Vergleichssonne Z analog dem Zeiger einer großen Uhr kreisen, und zwar mit derselben gleichmäßigen Bahngeschwindigkeit wie die richtige Sonne S. Dadurch passieren beide Sonnen den Frühlingsanfang und den Herbstanfang zum selben Zeitpunkt. Der jeweilige Meridian der Himmelskugel, der durch die echte Sonne verläuft, trifft den Himmelsäquator im rechten Winkel, wobei dieser Schnittpunkt die Länge $\alpha_m$ in die Abschnitte $\alpha$ und g teilt. Unter der Länge von g ist die Zeitgleichung zu verstehen. Bild 6 ist ein Ekliptikalschnitt und zeigt alle Winkel aus der Sicht des Himmels-Nordpols.

Es gibt jedoch ein Problem. Jedes Mal, wenn die Sonne nach einem kompletten Umlauf im Bild 5 wieder den Frühlingspunkt erreicht, trifft ihr Bildpunkt auf einen anderen Meridian der Erde. So gibt es keine Menge ganzzahliger Erdrotationen, die ohne Rest auf einen Umlauf passen, zumal die Erde immer langsamer dreht. So beginnt jedes Jahr am 1. Januar 00:00:00 UT mit dem Bildpunkt auf einem anderen Meridian.

Genau deshalb braucht man für jedes Jahr eine neue Tabelle mit der Zeitgleichung oder einen neuen Almanach, der genau nur für ein bestimmtes Jahr gilt. Da muss man fragen, wann die Erde angefangen hat, sich zu drehen, natürlich nur im kalendarischen Sinne. Die Antwort lautet: am 1.1.4713 v. Chr., also vor beinahe 7000 Jahren. So lange kennt man also schon Kalender, in denen die Tage bis heute fortgezählt werden.

Allerdings gab es viele Kalenderreformen, in denen die Kalender an das Sonnenjahr angepasst wurden. Der römische Kaiser Gaius Julius Cäsar reformierte im Jahr 45 v. Chr. den bis dahin gültigen römischen Kalender. In diesem neuen, von ihm geschaffenen julianischen Kalender hatte ein Jahr 365 Tage und jedes vierte Jahr war ein Schaltjahr mit 366 Tagen. Dieser Kalender hinkte alle 128 Jahre um einen Tag der auf dem Frühlingsanfang beruhenden astronomischen Realität hinterher. Dennoch wird er auch heute noch in einigen Ländern verwendet.

Im Jahr 1582 reformierte Papst Gregor den Kalender, indem zehn Tage einfach übersprungen wurden, denn das Osterdatum war nicht mehr durch den Frühlingsanfang und den Frühlingsvollmond bestimmt. Auch die Schaltjahresregel wurde geändert, sodass zwar grundsätzlich alle vier Jahre ein Schalttag dazukommt, dieser jedoch in den Jahrhundertwenden ausfällt, es sei denn, die Jahreszahl ist restlos durch 400 teilbar. Den gregorianischen Kalender haben inzwischen die meisten Staaten übernommen. Doch es bleibt dabei – es wird keinen Kalender geben können, in dem Sonnenjahr und Kalenderjahr übereinstimmen.

Damit nicht immer bis zu einem Tag in der weiten Vergangenheit zurückgerechnet werden muss, wurden Etappen festgelegt. Die letzte Etappe endete am 1. Januar 2000 um 12:00:00 UT1, womit sogleich der Beginn einer neuen Etappe startete. Damit die Zeitgleichung rechnerisch für jedes Datum und für jede Tageszeit genau bestimmt werden kann, benötigen wir sogenannte Bahnelemente, welche die genaue Umlaufbahn der Erde um die Sonne im Raum eindeutig beschreiben. Diese sind in Tafel 12.1 als lineare Gleichungen erster Ordnung in der Form Y = A + T ⋅ B dargelegt. In dieser Gleichung beschreibt die Konstante A die Größe des jeweiligen Elementes am Referenzzeitpunkt und das Produkt B ⋅ T die mit den zukünftigen Tagen T zu erwartenden Änderungen. Die Bahnelemente aus der Tafel lassen sich wie folgt beschreiben:

**Tafel 1: Bahnelemente des Planeten Erde**

Mittlere Länge in Grad ab Perihel ist die Stelle auf dem Himmelsäquator, die ein dort kreisender Punkt erreicht, wenn er gleichmäßig wie ein Uhrzeiger mit der mittleren Umlaufgeschwindigkeit der Sonne vom Referenzdatum an unterwegs ist. Innerhalb von 10 Jahren legt L dann eine Länge von rund 3600°zurück.
Länge des Perihel in Grad ist der Punkt auf der Erdumlaufbahn, an dem die Erde im Nordwinter der Sonne am nächsten kommt. Die Länge wird in Grad vom Frühlingspunkt aus gemessen.
Numerische Exzentrizität ist ein Parameter, mit dessen Hilfe ein Kreis in eine Ellipse verwandelt wird, in unserem Fall also ein mathematisches Hilfsmittel, mit dem die elliptische Bahn der Erde um die Sonne festgelegt wird.
Schiefe der Ekliptik in Grad ist der Winkel, den die Ebene der Ekliptik gegenüber der horizontalen Ebene einnimmt. Es ist gleichzeitig der Winkel der maximal möglichen Deklination der Sonne.

3.1 Bestimmung der Zeit als Variable

Der Wert der Bahnelemente wird immer gebraucht, wenn die Zeitgleichung für eine bestimmte Sekunde an einem bestimmten Datum ausgerechnet werden soll. Dazu muss die Zeit T in Tagen mit entsprechend vielen Stellen nach dem Komma bestimmt werden. Die Formel dafür lautet:

(1) $T=\mathbb{Z}\Bigr[\big(JJJJ-\text{REF}\big)\cdot 365,25\Bigr]+N-0,5+\frac{UT1}{24}-SJ\cdot$

Hierin gilt bis 2099 die Schaltjahresdefinition

(2) $SJ=\text{wenn}\;4|(JJJJ -\text{REF})\;\text{dann}\;1\;\text{sonst}\;0\cdot$

Mit ℤ ist der ganzzahlige Teil des Wertes gemeint, der in der nachfolgenden Klammer steht. Mit REF ist darin das Referenzjahr 2000 gemeint. So erhält man für das Jahr 2026 in der großen eckigen Klammer den Wert 9496,5 Tage und ℤ beträgt 9496 Tage, weil der Nachkommaanteil von 0,5 weggelassen wird.

Mit N werden die im betrachteten Jahr vergangenen Tage einschließlich des aktuellen Tages bezeichnet. So beträgt N an einem 12. Februar 43 Tage. Weil der aktuelle Tag als ganzer Tag zugerechnet ist, die Startzeit am Referenztag jedoch 12 Uhr mittags beginnt, muss davon wieder ein halber Tag (-0,5) abgezogen werden.  Der nachfolgende Bruch UT1/24 legt mit der Dezimalzahl von UT1 den gebrochenen Tagesanteil fest. Mit SJ ist die mit der Gleichung 2 beschriebene Schaltjahresregel gemeint, die in dieser vereinfachten Form bis 2099 gilt. Ein Schaltjahr gibt es danach immer dann, wenn die Jahreszahl ohne Rest durch vier teilbar ist. Gelesen wird diese Gleichung als:

Wenn 4 der Teiler von (JJJJ – 2000) ist, dann 1, wenn nicht, dann 0.

Somit ist jedes vierte Jahr ein Schaltjahr, in dem dann ein Tag abgezogen werden muss. Subtrahieren ist deshalb angesagt, weil bei der Multiplikation mit 365,25 der Nachkommawert von 0,25 alle vier Jahre einen zusätzlichen Tag hervorbringt.  Im Übrigen ist das Jahr 2100 kein Schaltjahr, obwohl es durch 4 teilbar ist. Es ist aber auch durch 100 teilbar und fällt deshalb als Schaltjahr aus. Die Regelung mit der Gleichung 2 gilt daher nur bis ins Jahr 2099.

3.2 Berechnung der Zeitgleichung

Zur Berechnung einer Position stand früheren Navigatoren nur die Zeitgleichung zur Verfügung, die dazu diente, die Chronometerzeit einer Beobachtung auf die Sonnenzeit umzurechnen. Tafel 2 zeigt einen Ausschnitt einer Zeitgleichungstabelle. Die darin enthaltenen Werte gelten immer nur für 12:00 UT1. So machte es sich erforderlich, die Zeitgleichung auf die Stunde der Beobachtungszeit umzurechnen, insbesondere dann, wenn die Unterschiede der angegebenen Werte von einem auf den anderen Tag erheblich sind.
Die in der Mitte des 19. Jahrhunderts aufkommenden nautischen Jahrbücher machten diesen Aufwand überflüssig. Suchte man darin den GHA einer am Chronometer abgelesenen Uhrzeit, so lieferte die Tabelle den GHA der zugehörigen Sonnenzeit. So ist die Kenntnis der Zeitgleichung für den Aufbau der Tabellen in nautischen Almanachen essenziell. In Computer-Apps muss die Zeitgleichung für die eingegebene Beobachtungszeit berechnet werden, weil sie dort in derselben Weise wie in Almanachen zur Bestimmung des GHA und der Deklination δ benutzt wird.
Nach Bild 5 ist die Zeitgleichung einfach die Auflösung der Beziehung:

(3) $g=\alpha_m-\alpha\cdot$

Unter $\alpha_m$ wird der Hauptwinkel der Länge L verstanden. Das ist der Restwinkel, der übrig bleibt, wenn von dem insgesamt geleisteten Winkel, der Erde um die Sonne, die ganzzahligen Werte von 360° subtrahiert werden. Wenn also der Gesamtwinkel L = 9144° beträgt, dann hat die Erde die Sonne auf ihrer Umlaufbahn mit 9144° geteilt durch 360° und damit 25,4‑mal umrundet. Die aktuelle Umrundung hat den Wert 0,4 mal 360° erreicht. Das sind dann 144° und ist der Hauptwinkel $\alpha_m$ . Mathematisch wird dieser Rechenprozess mit folgender Formel beschrieben:

(4) $\alpha_m=L-\mathbb{Z}\Bigg(\frac{L}{360^\circ}\Bigg)\cdot 360^\circ\cdot$

Mit der Berechnung von α wird es dann schon komplizierter. Wie Bild 5 zeigt, bilden Λ, α und δ, alles sind Großkreisabschnitte, ein rechtwinkliges Kugeldreieck mit dem rechten Winkel zwischen α und dem durch die Sonne gehenden Meridian. Für dieses Dreieck ist die Berechnungsformel in einem Formelbuch mit $\tan\alpha=\tan\Lambda\cdot\cos\epsilon$ schnell gefunden.

**Tafel 2: Ausschnitt aus einer Tabelle mit der Zeitgleichung des Jahres 2025 für 12:00 UT1**

Unter Berücksichtigung der Vollkreisigkeit ist es jedoch günstiger, mit der Transformationsformel

(5) $\begin{equation*}\alpha=\arctan_\Lambda(\tan\Lambda\cdot\cos\epsilon)\end{equation*}$

zu arbeiten. Man wäre sonst mit zu vielen Überläufen konfrontiert. Der Index Λ in der Arkusfunktion ruft den Winkel auf, der Λ am nächsten liegt. Diese Formel ist dann folgendermaßen zu verwenden:

(6) $\alpha=\arctan_\Lambda(x)=\arctan(x)+\pi\cdot \mathbb{Z}\Bigg(\frac{\Lambda-\arctan(x)}{\pi}\Bigg)\cdot$

Hierin ist $x =\tan\Lambda\cdot\cos\epsilon$ . Um die Gleichung lösen zu können, wird Λ gebraucht und dafür gilt:

(7) $\begin{equation*}\Lambda=\alpha_m+C \cdot\end{equation*}$

Mit C kommt hier die sogenannte Mittelpunktsgleichung ins Spiel, die zur Berechnung einer elliptischen Bahn durch elliptische Verformung einer Kreisbahn dient. Sie hängt nach Kepler von der Exzentrizität e der jeweiligen Bahnellipse ab und ist die Differenz zwischen mittlerer Anomalie M und wahrer Anomalie V. Das soll an dieser Stelle nicht weiter vertieft werden. Die mittlere Anomalie ist die Differenz aus mittlerer Länge und Länge des Perihels. Dafür gilt:

(8) $\begin{equation*}M=\alpha_m-\varpi+360^\circ\cdot\end{equation*}$

Da die Kepler-Gleichung nur iterativ zu lösen ist und die Exzentrizität der Erdbahn mit e = 0,0168 recht klein ausfällt, ist hier eine Reihenentwicklung sinnvoller. In der Literatur findet man dafür:

(9) $C=\frac{180}{\pi}\Bigg((2e-\frac{e^3}{4})\cdot\sin M+\frac{5}{4}e^2\cdot\sin (2M)+\frac{13}{12}e^3\cdot\sin (3M)+\frac{103}{96}e^4\cdot\sin 4M+\frac{1097}{960}e^5\cdot\sin (5M)\Bigg)\cdot$

Die dritte Zeile dieser Gleichung und somit die letzten beiden Summen bringen keinen nennenswerten Beitrag mehr. Sie können in Berechnungen weggelassen werden. Mit dem Resultat kann jetzt $\Lambda$ nach Gleichung 7 berechnet werden und liefert nach Ausrechnen der Gleichung 5 unter Benutzung der Lösungshilfe in Gleichung 6 die Länge $\alpha$ . Damit ließe sich mit Gleichung 3 die Zeitgleichung in Grad angeben. Eine Multiplikation mit vier liefert das Ergebnis, wie im Diagramm dargestellt, in Zeitminuten.
Die Zeitgleichung ist, wie bereits beschrieben, von der Exzentrizität und von der Ekliptikschiefe, also von zwei Komponenten, abhängig. Der Beitrag aus der Bahnexzentrizität wird dadurch berechnet, dass Ekliptikachse und Erdachse parallelgestellt werden. Dafür gilt:

(10) $g_{\epsilon=0}=\alpha_m-\Lambda\cdot$

Dieser Teil verläuft sinusähnlich mit einer Periode von einem Jahr. Es ist die grüne Strich-Punkt-Kurve im Bild 7.
Die zweite Komponente ist der Beitrag, der auf die Schiefe der Ekliptik zurückzuführen ist, und ergibt sich als

(11) $g_\epsilon=\Lambda-\alpha\cdot$

Die Anwendung des Arkustangens mit Lageparameter gemäß Gleichung 6 verhindert nicht, dass hier Zahlenwerte auftreten, die über die Erwartungen hinausgehen. Erwartet werden jedoch Werte, die über 0,07 – das entspricht 4° – keinesfalls hinausgehen. Sollten Zahlen errechnet werden, die über dieses Maximum hinausgehen, dann muss vom Ergebnis der Gleichung $\pi$ subtrahiert werden. Der Verlauf ist ebenfalls sinusförmig, jedoch mit zwei Perioden in einem Jahr. Dies ist im Bild 7 als rot gestrichelte Kurve dargestellt.

**Bild 7: Zeitgleichung für das Jahr 2025 schwarz, Wirkung der Exzentrizität grün, Wirkung der Ekliptikschiefe rot**

Die Zeitgleichung ist die Summe der mit den Gleichungen 10 und 11 beschriebenen Komponenten und somit

(12) $g=g_{\epsilon=0}+g_\epsilon=\alpha_m-\alpha\cdot$

Das Ergebnis ist, wie zu erwarten, die Gl. 3 und im Bild 7 als durchgehend schwarze Kurve gezeichnet.

Wenn die Zeitgleichungskomponenten nicht einzeln berechnet werden sollen, sondern die Zeitgleichung komplett und direkt, was für eine praktische Verwendung ausreicht, dann hilft die nachfolgend beschriebene Umformung. Nach Ersetzen von $\alpha$ in Gl. 12 bzw. 3 durch Gl. 5 erhält man für die Zeitgleichung den Ausdruck:

$g=\alpha_m-\arctan_\Lambda(\tan\Lambda\cdot\cos\epsilon)\cdot$

Ein Tangens Additionstheorem lautet:

$\tan(x-y)=\frac{\tan x-\tan y}{1+\tan x\cdot\tan y}$

Die Tangens-Umkehrfunktion liefert dafür:

$x-y=\arctan\frac{\tan x-\tan y}{1+\tan x\cdot\tan y}$

Durch Einsetzen von x = $\alpha_m$ und  $\tan y=\tan\Lambda\cdot\cos\epsilon$ folgt daraus:

(13) $g=\arctan\frac{\tan \alpha_m-\tan \Lambda\cdot\cos \epsilon}{1+\tan \alpha_m\cdot\tan \Lambda\cdot\cos \epsilon}\cdot$

Alle bisher angegebenen Gleichungen liefern Winkeldaten im Bogenmaß, die mit dem Quotienten 180/ $\pi$ ins Winkelmaß umgerechnet werden können. Zeitangaben erhält man, falls erforderlich, nach Multiplikation mit 4 min/Grad.

Bild 7 zeigt den Verlauf der Zeitgleichung des Jahres 2025 mit der schwarzen Kurve. An den vier Nulldurchgängen dieser Kurve ist zu erkennen, dass die wahre Sonnenzeit nur an vier Tagen im Jahr mit der Zeit einer Räderuhr übereinstimmt und sonst bis zu einer Viertelstunde vor- oder nachlaufen kann.

3.3 Deklination δ

Die ersten Deklinationstabellen gab es schon im Mittelalter. Man stellte sie sich als Sinuswelle vor, die an den Tagundnachtgleichen einen Nulldurchgang hatte und an den Sonnenwenden ihre jeweiligen Maximalwerte von 23,44° erreichte. Das kam auch ungefähr hin, wie Bild 8 zeigt. Tatsächlich ist es aber eine Näherung, weil diese Annahme die Wirkung der Zeitgleichung ignoriert. Die Deklination kann leicht genau ausgerechnet werden. In Bild 5 ist leicht erkennbar, dass es sich bei dem Dreieck mit den Seiten $\delta$ $\Lambda$ und $\alpha$ um ein rechtwinkliges Dreieck handelt. Der rechte Winkel existiert dabei zwischen den Seiten $\alpha$ und $\delta$ und die Seite $\delta$ kann deshalb mit einer einfachen Formel aus dem Formelbuch leicht ausgerechnet werden. Durch das Einsetzen der entsprechenden Größen erhält man:

(14) $\delta=\arcsin(\sin\epsilon\cdot\sin\Lambda)\cdot$

Die Länge $\Lambda$ hierin wird von der Gleichung 7 geliefert. Durch Multiplikation mit dem Quotienten 180°/ $\pi$ wird der Winkel in Grad erhalten. Einen kleinen Ausschnitt der Deklinationen am 20. August 2022 zeigt Tafel 3 ebenfalls in der rechten Spalte.

**Bild 8: Deklinationskurve. Die rote Strichpunktkurve markiert einen reinen sinusförmigen Verlauf.**

4 Der Sonnenalmanach

Mit der Einführung des Nautischen Jahrbuchs (oder des Nautical Almanac) ab Mitte des 19. Jahrhunderts wurde die astronomische Navigation auf See erheblich vereinfacht, beschleunigt und sicherer gemacht. Der entscheidende Fortschritt lag im Wechsel der mathematischen Bezugsgrößen.
In früheren Zeiten musste der Navigator, die an Bord gemessene Chronometerzeit (mittlere Greenwich-Zeit / GMT) mühsam mithilfe von Zeitgleichungstabellen korrigieren, um die wahre Sonnenzeit zu erhalten. Die Tabellen enthielten, wie Tafel 2 auch, nur die Werte eines Tages, die stets noch auf die wahren Beobachtungszeiten interpoliert werden mussten. Erst danach konnte der Längengrad über die Winkelgeschwindigkeit der Sonne von 15°/h berechnet werden.

Ein nautisches Jahrbuch listet direkt einen sogenannten Greenwich-Stundenwinkel GHA für jede volle Stunde des Jahres auf. In diesen Tabellenwerten ist die unregelmäßige Bewegung der Sonne – und damit die Zeitgleichung – bereits mathematisch eingearbeitet. Zur Berücksichtigung eines Zusatzes der verbleibenden Minuten und Sekunden auf den Stundenwert gibt es am Ende der Jahrbücher sogenannte Schalttafeln. Diese sind nach Minuten und Sekunden jeweils von 0 bis 59 sortiert. Die Rechenarbeit des Navigators wurde auf diese Weise bereits bei der Erstellung der Bücher erledigt.

In einer App sind die Werte von GHA und δ direkt für die Sekunde der Beobachtung auszurechnen. Der Greenwichwinkel beginnt am Nullmeridian mit 0° und erstreckt sich westwärts über 360° um die ganze Erde. Die Berechnung des Greenwichstundenwinkels GHA erfolgt daher nach folgender Formel:

(15) $GHA=g+\text{15°/h}\cdot\frac{\pi}{\text{180°}}\big(t+12^h\big)\text{.}$

Hierin gilt:

$0\le(t+12^h\big)\le 24^h.$

Da der Tag bei 180° E beginnt, der Nullmeridian jedoch 180° westlich davon liegt, wird dieser Versatz durch die Addition von 12 Stunden ausgeglichen. Die Beobachtungszeit t^h ist als UT1-Dezimalzahl anzugeben. Der Ausdruck in der Formelzeile darunter besagt, dass der Klammerinhalt (t + 12^h) nicht größer als 24^h und nicht kleiner als null sein darf. Für Beobachtungszeiten an Nachmittagen müssen deshalb immer 24 Stunden subtrahiert werden. Die Winkelgeschwindigkeit der Sonne beträgt 15°/h und g ist die Zeitgleichung gemäß Gleichung 13. Das Ergebnis steht wegen des Quotienten $\pi$ /180 im Bogenmaß zur Verfügung, weil es in Programmen im Zuge weiterer Berechnungen in dieser Form gebraucht wird. Um den GHA im dezimalen Gradmaß zu erhalten, muss man diesen Quotienten weglassen und die Zeitgleichung Gl. 13 im Winkelmaß einsetzen, indem das Ergebnis mit 180/ $\pi$ multipliziert wird.

4.1 Der Rechenweg

**Tafel 3: Ablauf der Berechnung der Sonnenephemeriden GHA und $\delta$ .**

Der bisher vorgestellte Weg zur Berechnung von GHA und δ einer Beobachtungszeit ist in der Tafel 3 zusammengefasst. Dieses Rechenschema lässt sich problemlos in Programmen implementieren. Die Berechnung der Bahnelemente der Erde für den Beobachtungszeitpunkt T erfolgt in den Schritten 2, 3, 5 und 8. Die Formeln dafür sind die in der Tafel 1 vorgegebenen linearen Gleichungen. Die dort in Grad angegebenen Koeffizienten müssen natürlich vor ihrer weiteren Verwendung in Computerprogrammen ins Bogenmaß umgerechnet werden.

Im Weiteren soll der Rechenweg für die Ermittlung von GHA und δ für eine Beobachtung gezeigt werden, bei der die Sonne am 10. Juni 2026 um 8:47:18 UT1 im Fernrohr eines Sextanten auf den Horizont gesetzt worden ist.

- 1. Nach Tafel 3 muss zunächst die Zeit in Tagen ab dem Referenzdatum nach Gl. 1 ermittelt werden und wir erhalten:
    – $\mathbb{Z}\big((2026 - 2000)\cdot 365,25\big)=9496\,d$
    – N – 0,5 = 160,5 d
    – 8,78833333 h/24 h = 0,3661806 d
    – SJ = 0
    Summe: T = 9656,86618 Tage
  2. Gemäß dem zweiten, in Tafel 3 angegebenen Schritt, wird nun L unter Benutzung von T und der in Tafel 1 angegebenen Formel ausgerechnet. Das Ergebnis in Grad muss durch Multiplikation mit $\pi$ /180 ins Bogenmaß umgerechnet werden.
    L = 9798,73004°
    L_rad = 171,02010
  3. Ebenso wird jetzt auch $\varpi$ nach der in der Tafel 1 angegebenen Formel gerechnet. Wir erhalten:
    $\varpi$ = 283,39454°
    _rad = 4,94617
  4. Daraus folgt dann M = L – $\varpi$ mit
    M_rad = 166,07393
  5. Die numerische Exzentrizität wird mit der in der Tafel 1 angegebenen Gleichung und der Zeit T berechnet und wir erhalten:
    e = 0,01670
  6. Mit M und e wird jetzt die Mittelpunktsgleichung C gemäß Gl. 9 berechnet. Das Ergebnis lautet:
    C_rad = 0,01368.
  7. Daraus folgt als Summe von L und C
    $\Lambda$ _rad = 171,03378.
  8. Mit Schritt 8 der Tafel 3 erhalten wir die Schiefe der Ekliptik mit:
    $\epsilon$ _rad = 0,40903
    $\epsilon$ = 23,43573°
  9. Jetzt ist soweit alles berechnet, dass wir die Zeitgleichung ausrechnen können. Da wir kein Diagramm zeichnen wollen, müssen wir die Komponenten nach den Gl. 10 und 11 nicht einzeln berechnen, um sie anschließend zu addieren. Wir benutzen die Gl. 13, die uns die Summe direkt liefert. Wir erhalten:
    g_rad = 0,00237
    g = 0,13551°
    g = 0,54205 min
  10. Der GHA ist der vollkreisige Längengrad (0 bis 360°), des Bildpunktes der Sonne zum Beobachtungszeitpunkt. Er wird nach Gl. 14 berechnet. Dabei sind eventuelle Überläufe (Ergebnis <0° oder >360°) zu beachten und auszugleichen. Wir erhalten:
    GHA_rad = 5,44474
    GHA = 311,96051°
    GHA = 311° 57.63’
  11. Die Deklination folgt aus der Gleichung 15 mit:
    $\delta$ _rad = 0,40180
    $\delta$ = 23,02156°
    $\delta$ = 23° 1,29’

Die Berechnung der Ephemeriden GHA und $\delta$ oder gar eines ganzen Sun-Almanac ist nach dieser Methode gar nicht kompliziert und kann mithilfe der Tabellenkalkulation EXCEL recht schnell gemacht werden. In EXCEL gibt es dann auch eine sehr praktische Formel, um die Zeit in Tagen seit der Referenzzeit bestimmen zu können. Sie lautet =TAGE(dat;ref)+ot-0,5. Hierin ist ot die Observationszeit, die in der Form 08:47:18 anzugeben ist. Mit dat ist das Datum der Beobachtung, z.B. 10.6.2026 gemeint und ref ist das Referenzdatum 01.01.2000.

4.2 Der EXCEL Sun-Almanac

In klassischer Form besteht ein Sun Almanac aus Tagesseiten, auf denen die Ephemeriden im Stundenraster angegeben sind. Für die Minuten und Sekunden einer angebrochenen Stunde muss ein Zuwachs ermittelt werden, der zu den Winkeln der jeweils angebrochenen Stunde addiert werden muss. Dafür stehen dann 60 sogenannte Schalttafeln zur Verfügung, und zwar für jede Minute eine Tafel mit jeweils 59 Zeilen für die Sekunden einer Minute. Man könnte diese Interpolation auch rechnerisch erledigen, doch die Benutzung der Schalttafeln ist weniger fehleranfällig, insbesondere auch dann, wenn der Skipper mit Seekrankheit zu kämpfen hat.

Ein mit der Tabellenkalkulation Excel erstellter sun_almanac der mit den oben angegebenen Formeln arbeitet und bis zum 31. Dez. 2099 gültig ist, kann von dieser Seite heruntergeladen werden. Nach Eingabe des Datums werden Greenwichwinkel und Deklination wie auf den klassischen Tagesseiten im Stundenraster berechnet und ausgegeben, wie es die nebenstehende Tafel 3 zeigt. Nach Eingabe der Urzeit als UT1 bekommt man sofort auch die sekundengenauen Winkel für Grt und δ geliefert. Damit erspart man sich den Gebrauch von Schalttafeln. Die Datei ist mit dem Passwort „change“ gesichert, das aber nur alle Felder vor dem Überschreiben schützt. Nach Eingabe des Passwortes sind die Formeln in allen Zellen lesbar und der Zusammenhang mit den hier angegebenen Formeln wird erkennbar.

Derart aufgebaute Almanachs haben allerdings keine praktische Bedeutung mehr, es sei denn, jemand will unbedingt grafisch und nach klassischer Art navigieren. In Navigations-Apps ist diese Ephemeridenberechnung in einem kleinen Modul untergebracht, das nach Eintippen von Datum und Beobachtungszeit die Sonnenephemeriden direkt an die Positionsberechnung weitergibt.

Man könnte sich fragen, ob die damit erreichbare Genauigkeit für eine Standortbestimmung mit einem Sextanten ausreichend hoch ist. Tatsächlich ergeben sich Ephemeridenfehler im Greenwichwinkel von bis zu ±o,5 Seemeilen. Im Verbund mit allen anderen zufälligen Fehlern führt das in der Praxis zu keinerlei merkbaren Auswirkungen. Warum das so ist, wird genauer im Beitrag Fehlerbetrachtung untersucht.