Astronavigation: Mit dem Sextanten unterwegs

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Johann Carl Friedrich Gauß war ein deutscher Mathematiker, Statistiker, Astronom, Geodät, Physiker und Elektrotechniker. Wegen seiner überragenden wissenschaftlichen Leistungen galt er bereits zu seinen Lebzeiten als „Princeps mathematicorum“. Gauß leitete in den Jahren 1821 – 1825 die Vermessung des Königreiches Hannover. Doch sein Interesse an der Landvermessung hatte er schon viel früher gezeigt.

Dabei benutzte er einen Sextanten, den er sich von seinem Freund Franz Xaver von Zach auslieh. Gauß war kein Seemann, doch eine Ortsbestimmung auf See unterscheidet sich nicht wirklich von einer Ortsbestimmung an Land. Schließlich muss auch ein Kartograf Längen- und Breitengrade auf seinen Landkarten einzeichnen können.

Gauß kannte die geometrische Lösung des Zweihöhenproblems sehr gut und wusste, dass diese, für eine Berechnung mit Logarithmen sehr aufwendig war, zu aufwendig, um in der Seefahrt verwendet zu werden. So suchte er nach bequemeren Möglichkeiten.

In dem nebenstehenden Bild kann jedes der zwei Polardreiecke XPZ und X’PZ mit einer Gleichung beschrieben werden. Weil beide Dreiecke die gemeinsame Seite PZ besitzen und darüber hinaus auch die Polwinkel über die Zenitabstände s und s‘ definiert sind, kann das, was die Zeichnung darstellt, auch mit einem Gleichungssystem ausgedrückt werden. Es war ein Mathematiker namens Kraft, der diese Idee als Erster hatte. Allerdings bestehen beide Gleichungen des Systems aus den transzendenten Kreisfunktionen Sinus und Kosinus und für transzendente Gleichungssysteme gibt es keine Lösungsalgorithmen. So scheiterte der Mathematiker Kraft auch daran, eine praxistaugliche Lösung zu finden. Gauß gefiel dieser mathematische Ansatz und fühlte sich vielleicht herausgefordert. Er schrieb auf seiner Seite 134:

„Dieses alles beruhet auf rein geometrischen, freilich ganz einfachen Betrachtungen: es wird aber ohne Zweifel manchem angenehm seyn, eine directe Auflösung dieses Problems auf blos analytischem Wege entwickelt zu sehen wodurch sich aufs Neue bestätigen wird, daß alle Wahrheiten, welche aus geometrischen Betrachtungen abgeleitet werden, ebenso zierlich mit Hülfe der Analyse entdeckt werden können, wenn diese nur auf die rechte Art behandelt wird.“

Die Lösung

Gauß wollte eine Lösung finden, bei der die Höhen zu beliebigen Zeiten gemessen werden können, und er wollte auch gleich die Zeit berechnen, über die dann der Längengrad bestimmt wird. Die Auflösung des Problems bestand also im Finden der Unbekannten $\varphi$ und $\lambda$ des folgenden Gleichungssystems, welches die beiden Poldreiecke des geometrischen Modells im vorstehenden Bild mit je einer Formel beschreibt:

( I.) $\sin h=\sin \delta\sin \varphi+\cos \delta\cos \varphi\cos \lambda$

(II.) $\sin h'=\sin \delta'\sin \varphi+\cos \delta'\cos \varphi\cos (\theta-\lambda)$

Gauß ist es gelungen, dieses Gleichungssystem zu lösen. Das Ergebnis bestand am Ende aus den Winkeln F, V, W und G. Mit diesen Winkeln konnten dann Breite und Länge des Standortes aus zwei Gestirnshöhen berechnet werden. Der Gauß Formelapparat ist letztlich gar nicht so kompliziert geworden und besteht aus den folgenden sechs Gleichungen:

(1) $\begin{equation*}F = \arctan\frac{\tan\delta'}{\cos\theta}\end{equation*}$

(2) $\begin{equation*}V=\arctan\frac{\cos F\cdot\tan \theta }{\sin (F-\delta)}\end{equation*}$

(3) $\begin{equation*}W=P\cdot\arccos\frac{\cos V\cdot\tan h}{\tan (F-\delta)}\bigg(\frac{\sin h'\cdot\sin F}{\sin h\cdot\sin \delta'\cdot\cos(F-\delta)}-1\bigg)\end{equation*}$

(4) $\begin{equation*}G=\arctan\frac{\tan h}{\cos (V-W)}\end{equation*}$

(5) $\begin{equation*}\lambda_0=\arctan\frac{\cos G\cdot\tan (V-W)}{\sin (G-\delta)}\end{equation*}$

(6) $\begin{equation*}\varphi=\arctan\big (\cos \lambda_0\cdot\cot(G-\delta)\big)\end{equation*}$

Hierin ist θ die Differenz der Greenwichwinkel aus beiden Beobachtungen, also θ = Grt‘ – Grt. Keine einzige dieser Formeln ist mit geometrischen Elementen erklärbar und auch $\lambda_0$ ist kein Stundenwinkel, sondern eine aus den Winkeln V, W und G hervorgehende Standortlänge für den Sonderfall, dass die Seite PX der Nullmeridian ist. Das ist gewöhnlich nicht der Fall, doch dadurch berechnet sich die tatsächliche vollkreisige Länge immer nur aus der Summe

(7) $\begin{equation*}\lambda^{*}=\text{Grt}+\lambda_0\cdot\end{equation*}$

Die sonst übliche Berechnung $\lambda^\ast= Grt\pm\tau$ ist hier nicht angebracht, weil Gauß in seiner Analyse das zuerst beobachtete Gestirn auf dem Nullmeridian sieht und $\lambda_0}$ somit stets das richtige Vorzeichen annimmt. Befindet sich der Standort auf östlicher Länge und beide Beobachtungen sehen die Sonne westlich, dann hat $\lambda}_0$ natürlich ein negatives Vorzeichen und so wird die Summe von Grt und $\lambda_0}$ zur Differenz. Die geografische Länge $\lambda}$ ist westlich, solange $\lambda^{*}$ kleiner als 180° ist. Sobald $\lambda^{*}$ 180° überschreitet, muss sein Wert von 360° subtrahiert werden und das Ergebnis sind Ostgrade.

Standort Nord oder Süd

Mit P wird vorgegeben, ob ein Standort nördlich oder südlich von der Deklinationsbreite berechnet werden soll. Für einen nördlichen Standort ist P = 1 vorzugeben. Für einen südlichen Standort logischerweise P = -1. Diese Vorgaben sind aber noch mit dem Vorzeichen der aktuellen Deklinationsbreite zu multiplizieren. Für P gilt daher folgende Grundform:

$P=\big(\text{if}\;\text{position}=N\;\text{then}\;1\;\text{otherwise}\,-1\big)\cdot\text{sign}\big(\delta\big)$

Damit kann die zweite Beobachtung bei einer Zwischenzeit von mehr als sechs bis maximal etwa neun Stunden bis in das erste Folgedatum hinein erfolgen, ohne dass das Vorzeichen von P wechselt. Es ist jedoch möglich, dass Zweitbeobachtungen, so weit in ein Folgedatum hineinreichen, dass der Höhenkreis einer zweiten Beobachtung den alten Höhenkreis der ersten Beobachtung, von Osten kommend, überlappt. Bei dauernd bedecktem Himmel kann sogar noch ein weiterer Tag dazukommen, was dann aber schon eine recht penible Koppelnavigation erfordert. Die Gauß Methode hat rechnerisch kein Problem damit, wenn der Polparameter P mit folgendem Logikterm multipliziert wird:

$\text{if}\;\text{t}_2<\text{t}_1\;\land\;\Delta t>0,4\;\text{then}\,-1\;\text{else}\;1$

Wenn die Tageszeit t₂ kleiner ist als t₁, also ein Folgetag vorliegt (z. B. t₁ = 23:00 UTC und t₂ = 3:00 UTC) und die Zwischenzeit von Δt überschritten ist, negiert dieser Ausdruck das Vorzeichen von P. Damit wird erreicht, dass auch dann richtige Standorte berechnet werden, wenn der Höhenkreis einer zweiten Beobachtung den Höhenkreis der ersten Beobachtung von Osten kommend überlappt. Die Zeit Δt bestimmt sich aus:

Δt = Δd +t₂ – t₁

Hierin ist Δd der Unterschied in den Daten. So ist Δd = 2, wenn die Beobachtungen am 1. Juni und 3. Juni stattfinden. Der angegebene Wert von Δt = 0,4 sind 9,6 Stunden, wenn 24 h = 1 entspricht. Die Negation des Vorzeichens hebt sich auf, wenn der Bildpunkt der Sonne der zweiten Beobachtung nach jeweils 24 Stunden den alten Bildpunkt der ersten Beobachtung überholt.

Versegelungen werden dadurch berücksichtigt, dass die in der ersten Beobachtung gemessene Höhe h auf den Ort der zweiten Beobachtung angepasst wird. Das geschieht dadurch, dass die beobachtete Höhe h aus der ersten Beobachtung durch Addition von dmg° · cos(z – cmg) korrigiert wird (dmg = distance made good; cmg = course made good; z = Azimut). Das Ergebnis dieser Korrektur ist die versegelte Höhe hs, mit der dann alle Gleichungen, bei W beginnend erneut berechnet werden müssen. Die Winkel heißen dann W_s, G_s, $\lambda_{0s}}$ , $\varphi_s}$ und $\lambda^*_s}$ , mit denen dann die Ergebnisse für Breite und Länge erzeugt werden.

Die hier vorgestellten Formeln sind der originalen Arbeit von Carl Friedrich Gauß entnommen, die er im Jahre 1809 für das Astronomische Jahrbuch des Jahres 1812 schrieb. Seine Arbeit habe ich als Faksimile aus den Beständen der Bayerischen Staatsbibliothek erhalten.

Carl Friedrich Gauß und die analytische Auflösung

Die Lösung

Standort Nord oder Süd

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