Diese Methode ist das Ergebnis einer 250 Jahre dauernden Suche nach einer Lösung für das Zweihöhenproblem. Mit ihr kann ein Standort präzise und direkt aus zwei Höhen der Sonne über dem Horizont berechnet werden, die im Abstand von einigen Stunden gemessen werden.
Das nebenstehende Bild zeigt alle Elemente, die zur Berechnung der Breite nötig sind. In diesem Modell kennzeichnet X den Bildpunkt der Sonne zum Zeitpunkt ihrer ersten Beobachtung und X’ den Bildpunkt in der zweiten Beobachtung. P ist der Erdpol, hier der Nordpol und Z ist der Zenit der Schiffsposition. Diese vier Punkte sind die Eckpunkte von drei Dreiecken, die das große Dreieck XPX’ bilden.
Die Berechnung der Breite ist eine einfache Geometrieaufgabe, die daraus besteht, die Position der polseitigen Ecke Z des Dreiecks XZX‘ auszurechnen. Die Seiten des Dreiecks bestehen aus der Grundseite q. Das ist die kürzeste Verbindung zwischen den Bildpunkten X und X‘ der Sonne. Diese Strecke ist nicht die Spur, die der Bildpunkt zwischen den Beobachtungen zurückgelegt hat, sondern ihre Distanz auf einem Großkreis. Die beiden anderen Seiten s und s‘ sind die Zenitdistanzen aus den beobachteten Höhen, nämlich s = 90° – h und s‘ = 90° – h‘. Diese Seiten stoßen im Standort Z zusammen und so ist die Standortbreite die Differenz von 90° und der Seite b. Die Aufgabe besteht also darin, diese Seite b zu berechnen. Weil es sich bei allen Dreiecken um Kugeldreiecke handelt, die sich also auf der Oberfläche der Erdkugel befinden, müssen die Formeln aus der sphärischen Trigonometrie benutzt werden, was aber noch einfacher ist, als wären die Dreiecke in der Ebene angeordnet.
Das Bild zeigt die Konstellation, dass die Sonne zuerst am Vormittag und dann am Nachmittag beobachtet wurde. Natürlich sind auch andere Konstellationen möglich, dass nämlich Z östlich von der Seite p oder westlich von der Seite p’ liegen könnte.
Die Berechnung erfolgt nach folgendem Fünf-Punkte-Plan:
- Zuerst wird mit den Seiten
und
des umfassenden Dreiecks und dem davon eingeschlossenen Winkel
die Seite q berechnet. Gl. (1)
- Dadurch sind jetzt alle Seiten des großen Dreiecks bekannt und der Winkel
wird berechnet. Gl. (2)
- Da jetzt auch alle Seiten des zentralen inneren Dreiecks bekannt sind, wird in derselben Weise der Winkel
berechnet. Gl. (3)
- Aus der Winkeldifferenz
=
–
erhält man den Winkel zwischen den Seiten s und p. Gl. (4)
- Da die Seiten s und p schon bekannt sind und nun auch der davon eingeschlossene Winkel
, kann die Seite b berechnet werden, oder besser gleich das Komplement
dieser Seite. Gl. (5)
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
Diese fünf Gleichungen aus der sphärischen Trigonometrie liefern schon mal die Breite des Schiffsortes. Die Länge errechnet sich daraus ganz einfach aus der Summe oder Differenz des Greenwichwinkels aus der ersten Beobachtung und dem Stundenwinkel zwischen Z und X, also genauer
(6)
wie dieses das Bild auf der rechten Seite zeigt. Den Stundenwinkel liefert die Gleichung
(7)
Wird die Sonne X am Vormittag beobachtet, dann wird addiert. Erfolgt die erste Beobachtung am Schiffsnachmittag, also nach der Kulmination der Sonne am Schiffsort, dann wird subtrahiert. Die Angabe soll darauf hinweisen, dass die Länge als Stundenwinkel angegeben ist. Um daraus eine geografische Längenangabe zu erhalten, sind folgende Umrechnungen nötig:
- ist Grt ±
<0 dann 360° addieren
- ist Grt ±
>0 dann 360° subtrahieren
Nach dieser eventuell notwendigen Übertragsbehandlung gilt:
- ist
<180° dann sind es Westgrade
- ist
>180° dann 360° –
rechnen und es sind Ostgrade
Damit wäre der Standort aus zwei Höhen der Sonne ohne Ortsveränderung zwischen den Beobachtungen exakt berechnet.
Soll jedoch eine Ortsveränderung zwischen den Beobachtungszeiten eingerechnet werden, dann muss diese mit dmg (distance made good) und cmg (course made good) definiert werden. Das sind dann Distanz und Kurs einer Geraden über Grund, also unabhängig von Wenden und Halsen auf dieser Strecke. Nach einer Höhenanpassung, die im Beitrag Ortsveränderungen behandelt wird, muss die gesamte Breiten- und Längenberechnung ab der Gleichung 3 wiederholt werden und liefert erst dann den versegelten Standort.