Die geometrische Lösung des Zweihöhenproblems - Astronavigation: Mit dem Sextanten unterwegs

Diese Methode ist das Ergebnis einer 250 Jahre dauernden Suche nach einer Lösung für das Zweihöhenproblem. Sie wurde erst möglich nachdem der Schweizer Mathematiker Leonhard Euler (1707 – 1783) die Formeln der sphärischen Trigonometrie zusammengestellt hatte und auch die davon abgeleiteten Gleichungen für eine logarithmische Anwendung angab. In dieser Zeit gab es endlich auch die ersten nahezu fehlerfreien Logarithmentafeln. Damit konnte dann ein Standort aus zwei Höhen der Sonne über dem Horizont, die im Abstand von einigen Stunden gemessen werden.präzise und direkt berechnet werden.

Das nebenstehende Bild zeigt alle Elemente, die zur Berechnung der Breite nötig sind. In diesem Modell kennzeichnet X den Bildpunkt der Sonne zum Zeitpunkt ihrer ersten Beobachtung und X’ den Bildpunkt in der zweiten Beobachtung. P ist der Erdpol, hier der Nordpol und Z ist der Zenit der Schiffsposition, also der zu ermittelnde Schiffsstandort. Diese vier Punkte sind die Eckpunkte von drei Dreiecken, die von dem großen Dreieck XPX’ umrandet werden.

Die Berechnung der Breite $\varphi$ ist eine einfache Geometrieaufgabe, die daraus besteht, die Position der polseitigen Ecke Z des Dreiecks XZX‘ auszurechnen. Die Seiten des Dreiecks bestehen aus der Grundseite q, das ist die kürzeste Verbindung zwischen den Bildpunkten X und X‘ der Sonne. Diese Strecke ist nicht die Spur, die der Bildpunkt zwischen den Beobachtungen zurückgelegt hat, sondern ihre Distanz auf einem Großkreis. Die beiden anderen Seiten s und s‘ sind die Zenitdistanzen aus den beobachteten Höhen, nämlich s = 90° – h und s‘ = 90° – h‘. Diese Seiten stoßen im Standort Z zusammen und so ist die Standortbreite die Differenz von 90° und der Seite b. Die Aufgabe besteht also darin, diese Seite b zu berechnen. Weil es sich bei allen Dreiecken um Kugeldreiecke handelt, die sich also auf der Oberfläche der Erdkugel befinden, müssen die Formeln aus der sphärischen Trigonometrie benutzt werden, was aber noch einfacher ist, als wären die Dreiecke in der Ebene angeordnet.

Das Bild zeigt die Konstellation, dass die Sonne zuerst am Vormittag und dann am Nachmittag beobachtet wurde. Natürlich sind auch andere Konstellationen möglich, dass nämlich Z östlich von der Seite p oder westlich von der Seite p’ liegen könnte.

Die Berechnung erfolgt nach folgendem Fünf-Punkte-Plan:

Zuerst wird mit den Seiten $p=90^{\circ}-\delta$ und $p'=90^{\circ}-\delta'$ des umfassenden Dreiecks und dem davon eingeschlossenen Winkel $\theta$ die Seite q berechnet. Der Winkel $\theta$ ergibt sich als Grt‘ – Grt. Gl. (1)
Dadurch sind jetzt alle Seiten des großen Dreiecks bekannt und der Winkel $\sigma$ wird berechnet. Gl. (2)
Da jetzt auch alle Seiten des zentralen inneren Dreiecks bekannt sind (s = 90° – h; s‘ = 90° – h‘), wird in derselben Weise der Winkel $\zeta$ berechnet. Gl. (3)
Aus der Winkeldifferenz $\psi$ = $\sigma$ – $\zeta$ erhält man den Winkel zwischen den Seiten s und p. Gl. (4)
Da die Seiten s und p schon bekannt sind und nun auch der davon eingeschlossene Winkel $\psi$ , kann die Seite b berechnet werden, oder besser gleich das Komplement $\varphi$ dieser Seite. Gl. (5)

(1) $\begin{equation*}\text{q}=\arccos\big (\sin\delta\sin\delta'+\cos\delta\cos\delta'\cos\theta\bigr)\end{equation*}$

(2) $\begin{equation*}\sigma=\arccos\frac{\sin\delta'-\sin\delta\cos q}{\cos\delta\sin q}\end{equation*}$

(3) $\begin{equation*}\zeta=\arccos\frac{\sin h'-\sin h\cos q}{\cos h\sin q}\end{equation*}$

(4) $\begin{equation*}\psi=\sigma-\zeta\end{equation*}$

(5) $\begin{equation*}\varphi=\arcsin\big(\sin h\, \sin \delta+\cos h\, \cos\delta\, \cos \psi\big)\end{equation*}$

Diese fünf Gleichungen aus der sphärischen Trigonometrie liefern schon mal die Breite des Schiffsortes. Die Länge errechnet sich daraus ganz einfach aus der Summe oder Differenz des Greenwichwinkels aus der ersten Beobachtung und dem Stundenwinkel zwischen Z und X, also genauer

(6) $\begin{equation*}\lambda^{*}=Grt\pm\tau ,\end{equation*}$

wie dieses das Bild auf der rechten Seite zeigt. Den Stundenwinkel $\tau$ liefert die Gleichung

(7) $\begin{equation*}\tau=\arccos\frac{\sin h-\sin\delta\,\sin\varphi}{\cos\delta\,\cos\varphi}\end{equation*}$

Wird die Sonne X am Vormittag beobachtet, dann wird addiert. Erfolgt die erste Beobachtung am Schiffsnachmittag, also nach der Kulmination der Sonne am Schiffsort, dann wird subtrahiert. Subtrahiert wird also, wenn der Winkel $\psi=\sigma-\zeta$ negativ ist. Die Angabe $\lambda^{*}$ soll darauf hinweisen, dass die Länge als Stundenwinkel angegeben ist. Um daraus eine geografische Längenangabe zu erhalten, sind folgende Umrechnungen nötig:

ist Grt ± $\tau$ <0 dann 360° addieren
ist Grt ± $\tau$ >360 dann 360° subtrahieren

Nach dieser eventuell notwendigen Übertragsbehandlung gilt:

ist $\lambda^{*}$ <180° dann sind es Westgrade
ist $\lambda^{*}$ >180° dann 360° – $\lambda^{*}$ rechnen und es sind Ostgrade

Damit wäre der Standort aus zwei Höhen der Sonne ohne Ortsveränderung zwischen den Beobachtungen exakt berechnet.

Soll jedoch eine Ortsveränderung zwischen den Beobachtungszeiten eingerechnet werden, dann muss diese mit dmg (distance made good) und cmg (course made good) definiert werden. Das sind dann Distanz und Kurs einer Geraden über Grund, also unabhängig von Wenden und Halsen auf dieser Strecke. Nach einer Höhenanpassung, die im Beitrag Ortsveränderungen behandelt wird, muss die gesamte Breiten- und Längenberechnung ab der Gleichung 3 wiederholt werden und liefert erst dann den versegelten Standort.

Im 19. Jahrhundert traute man sich offensichtlich nicht, nach dem hier gezeigten geometrischen Modell zu navigieren. Auch hatte sich noch kein einheitlich gültiger Lösungsweg mit diesem Modell etablieren können. Für dieselbe Aufgabe sind mir gar nicht so alte Berechnungen mit Hilfe der Neperschen Gleichungen und dem Halbwinkelsatz bekannt, bei deren Anwendung auch gleich noch ein kleines Gleichungssystem zu berechnen war. Kein Wunder, dass man im 19. Jahrhundert vor der Berechnung eines Standortes nach dieser Methode zurückschreckte und stattdessen die neuen grafischen Methoden bevorzugte. Die Suche nach einer einfachen Berechnungsweise, bei der man am Ende auf die hier gezeigte gelangt wäre, hatte sich damit erledigt.

Es ist leicht zu erkennen, dass der mathematische Aufwand nicht wesentlich höher ist, als bei der St. Hilaire Methode. Auch dort müssen für jede Beobachtungszeit die Höhen der Sonne und die Azimute für den Gissort berechnet werden. Im Aufbau und Umfang sind die Hilaire Formeln mit den hier gezeigten Gleichungen 1,2,3 und 5 identisch. Zusätzlich zu berechnen wäre nur die Gl. 7. Dafür würde jedoch eine Menge an Zeichenarbeiten und auch das Anfertigen von Leerkarten gespart werden. Versegelungen könnten einfach dadurch berücksichtigt werden, dass in den Gleichungen 3, 5 und 7 nicht die Höhe h, sondern eine angepasste Höhe hs benutzt wird. Diese Höhe wird einfach mit

$h_s=h+\frac{dmg}{60}\cdot\cos(Az-cmg)$

berechnet. Darin sind Az das während der ersten Beobachtung gepeilte Azimut, cmg ist der mittlere gesegelte Kurs (course made good) und dmg die mittlere versegelte Distanz (distance made good) in Seemeilen. Diese muss durch 60 dividiert werden, um dmg von Seemeilen in Grad umzurechnen, denn Höhen werden bekanntlich in Grad verwendet.