Die geometrische Lösung des Zweihöhenproblems - Astronavigation: Mit dem Sextanten unterwegs

Diese Methode ist das Ergebnis einer 250 Jahre währenden Suche nach einer Lösung für das Zweihöhenproblem. Sie wurde erst bekannt nachdem der Schweizer Mathematiker Leonhard Euler (1707 – 1783) die Formeln der sphärischen Trigonometrie zusammengestellt hatte und auch die davon abgeleiteten Gleichungen für eine logarithmische Berechnung angab. In dieser Zeit gab es endlich auch die ersten nahezu fehlerfreien Logarithmentafeln. Damit hätte ein Standort aus zwei Höhen der Sonne über dem Horizont, die im Abstand von einigen Stunden gemessen werden, präzise und direkt berechnet werden können.

Das nebenstehende Bild links zeigt alle Elemente, die zur Berechnung der Breite nötig sind. In diesem Modell kennzeichnet X den Bildpunkt oder auch Zenitalpunkt der Sonne zum Zeitpunkt ihrer ersten Beobachtung und X’ den Bildpunkt in der zweiten Beobachtung. P ist der Erdpol, hier der Nordpol und Z ist der Zenit der Schiffsposition, also die zu ermittelnde Schiffsposition. Diese vier Punkte sind die Eckpunkte von drei Dreiecken, die von dem großen Dreieck XPX’ umrandet werden.

Die Berechnung der Breite $\varphi$ ist eine einfache Geometrieaufgabe, die darin besteht, die Position der polseitigen Ecke Z des zentralen Dreiecks XZX‘ auszurechnen. Die Seiten dieses Dreiecks bestehen aus der Grundseite q, das ist die kürzeste Verbindung zwischen den Bildpunkten X und X‘ der Sonne. Diese Strecke ist nicht die Spur, die der Bildpunkt zwischen den Beobachtungen zeichnet, sondern ihre Distanz auf einem Großkreis. Die beiden anderen vom Schiffsstandort Z ausgehenden Seiten s und s‘ sind die Zenitdistanzen aus den gemessenen Höhen der Sonne über dem Horizont, also s = 90° – h und s‘ = 90° – h‘. Die Standortbreite $\varphi$ ist die Differenz von 90° und der Seite b und deshalb geht es letztlich nur darum, diese Seite zu berechnen.

Weil alle diese Dreiecke Kugeldreiecke sind, die sich auf der Oberfläche der Erdkugel befinden, müssen die Formeln aus der sphärischen Trigonometrie benutzt werden, was aber noch einfacher ist, als wären die Dreiecke in der Ebene angeordnet. Das Bild zeigt aus Übersichtsgründen die spezielle Konstellation, dass die Sonne zuerst am Vormittag und dann am Nachmittag beobachtet wurde. Natürlich sind auch andere Konstellationen möglich, dass nämlich Z östlich von der Seite p oder westlich von der Seite p’ liegen könnte.

Die Berechnung erfolgt nach folgendem Fünf-Punkte-Plan: (mathematische Grundlagen HIER)

Zuerst wird mit den Seiten $p=90^{\circ}-\delta$ und $p'=90^{\circ}-\delta'$ des umfassenden Dreiecks und dem davon eingeschlossenen Winkel $\theta$ die Seite q berechnet. Der Winkel $\theta$ ergibt sich als Grt‘ – Grt. Gl. (1)
Dadurch sind jetzt alle Seiten des großen Dreiecks bekannt und der Winkel $\sigma$ wird berechnet. Gl. (2)
Da jetzt auch alle Seiten des zentralen inneren Dreiecks bekannt sind (s = 90° – h; s‘ = 90° – h‘), wird in derselben Weise der Winkel $\zeta$ berechnet. Gl. (3)
Aus der Winkeldifferenz $\psi$ = $\sigma$ – $\zeta$ erhält man den Winkel zwischen den Seiten s und p. Gl. (4)
Da die Seiten s und p schon bekannt sind und nun auch der davon eingeschlossene Winkel $\psi$ , kann die Seite b berechnet werden, oder besser gleich das Komplement $\varphi$ dieser Seite. Gl. (5)

(1) $\begin{equation*}\text{q}=\arccos\big (\sin\delta\sin\delta'+\cos\delta\cos\delta'\cos\theta\bigr)\end{equation*}$

(2) $\begin{equation*}\sigma=\arccos\frac{\sin\delta'-\sin\delta\cos q}{\cos\delta\sin q}\end{equation*}$

(3) $\begin{equation*}\zeta=\arccos\frac{\sin h'-\sin h\cos q}{\cos h\sin q}\end{equation*}$

(4) $\begin{equation*}\psi=\sigma-\zeta\end{equation*}$

(5) $\begin{equation*}\varphi=\arcsin\big(\sin h\, \sin \delta+\cos h\, \cos\delta\, \cos \psi\big)\end{equation*}$

Diese fünf Gleichungen aus der sphärischen Trigonometrie liefern schon mal die Breite des Schiffsortes. Die Länge errechnet sich ganz einfach aus der Summe oder Differenz des Greenwichwinkels aus der ersten Beobachtung und dem Stundenwinkel zwischen Z und X, also genauer

(6) $\begin{equation*}\lambda^{*}=Grt\pm\tau ,\end{equation*}$

wie dieses das Bild auf der rechten Seite zeigt. Den Stundenwinkel $\tau$ liefert die Gleichung

(7) $\begin{equation*}\tau=\arccos\frac{\sin h-\sin\delta\,\sin\varphi}{\cos\delta\,\cos\varphi}\end{equation*}$

Wird die Sonne X am Vormittag und damit im Osten beobachtet, dann wird addiert. Erfolgt die erste Beobachtung am Schiffsnachmittag, also nach der Kulmination der Sonne am Schiffsort und somit im Westen, dann wird subtrahiert. Subtrahiert wird also, wenn der Winkel $\psi=\sigma-\zeta$ negativ ist. Die Angabe $\lambda^{*}$ soll darauf hinweisen, dass die Länge als Stundenwinkel angegeben ist. Um daraus eine geografische Längenangabe zu erhalten, sind folgende Umrechnungen nötig:

ist Grt ± $\tau$ <0 dann 360° addieren
ist Grt ± $\tau$ >360 dann 360° subtrahieren

Nach dieser eventuell notwendigen Übertragsbehandlung gilt:

ist $\lambda^{*}$ <180° dann sind es Westgrade
ist $\lambda^{*}$ >180° dann 360° – $\lambda^{*}$ rechnen und es sind Ostgrade

Damit wäre der Standort aus zwei Höhen der Sonne ohne Ortsveränderung zwischen den Beobachtungen exakt berechnet.

Wenn eine Ortsveränderung, also eine Versegelung zwischen den Beobachtungszeiten erfolgt, dann muss die dmg (distance made good) und der cmg (course made good) festgestellt werden. Das sind Strecke und Kurs einer mittleren Gerade über Grund, also unabhängig von Wenden und Halsen auf dieser Strecke. Nach einer Höhenanpassung, die im Beitrag Ortsveränderungen behandelt wird, muss die Breiten- und Längenberechnung ab der Gleichung 3 wiederholt werden und liefert danach den versegelten Standort.

Im 19. Jahrhundert traute man sich offensichtlich nicht, nach dem hier gezeigten geometrischen Modell zu navigieren. Außerdem hatte sich noch kein einheitlicher Lösungsweg an diesem Modell etabliert. Für dieselbe Aufgabe ist mir selbst eine gar nicht so alte Berechnungsart bekannt, die mit Hilfe der Neperschen Gleichungen und dem Halbwinkelsatz ausgeführt wurde und auch gleich noch ein kleines lineares Gleichungssystem beinhaltet. Kein Wunder, dass man im 19. Jahrhundert vor der Berechnung eines Standortes nach dieser Methode zurückschreckte und stattdessen die neuen grafischen Methoden bevorzugte.

Ganz ohne mathematischen Aufwand geht es bei der Saint Hilaire Methode aber auch nicht. Vergleicht man die dafür nötigen Formeln mit den hier gezeigten Gleichungen 1, 2, 3 und 5, dann fällt auf, dass sie nahezu identisch sind. Zusätzlich zu lösen wäre lediglich die Gl. 7. Dafür würde jedoch eine Menge an Zeichenarbeiten und auch das Anfertigen von Leerkarten gespart werden. Versegelungen könnten einfach dadurch berücksichtigt werden, dass in den Gleichungen 3, 5 und 7 nicht die Höhe h, sondern eine angepasste Höhe hs benutzt wird. Diese Höhe wird einfach mit

$h_s=h+\frac{dmg}{60}\cdot\cos(z-cmg)$

berechnet. Darin sind z das während der ersten Beobachtung gepeilte Azimut, cmg ist der mittlere gesegelte Kurs und dmg die mittlere versegelte Distanz in Seemeilen. Diese muss durch 60 dividiert werden, um dmg von Seemeilen in Grad umzurechnen, denn Höhen werden bekanntlich in Grad verwendet.

Obwohl diese Abwägungen der algebraischen Positionsberechnung einen Vorteil an Zeitersparnis und Präzision einräumen, entschied man sich für die grafische Variante. Die produziert Schritt für Schritt aufgebaute Konstruktionen direkt auf der Seekarte und damit zusätzliche Sicherheit durch visuelle Kontrolle. Einer Position, die einfach nur als Zahl am Ende einer langwierigen Berechnung herauskam, konnte man nicht trauen.