Anwendung des Kosinus Seitensatzes

Der Klotz am Bein aller Navigationsverfahren war und ist immer deren Mathematik. Im 19. Jahrhundert standen zur Berechnung von Kugeldreiecken, und darum geht es fast immer, nur Logarithmentafeln zur Verfügung. Das war schließlich auch der Grund dafür, dass sich die grafischen Verfahren etabliert haben. Aber auch da kam man um die Auflösung mehrerer sphärischer trigonometrischer Formeln nicht herum. Heute haben wir Computer und da sollte es eigentlich keine Probleme mehr geben. Weil aber immer noch die Anwendung des grafischen Saint Hilaire Verfahrens empfohlen wird, das mit Standlinien arbeitet, muss nach wie vor gerechnet werden. Allerdings sind die Logarithmentafeln inzwischen den Taschenrechnern gewichen.

Wenn Astronavigation mit Navigations-Apps ausgeführt wird, entfällt natürlich jegliche Rechenarbeit. Die Mathematik wird dabei von einem Programm im Hintergrund ausgeführt und der Nutzer muss nur noch entsprechende Eingaben vornehmen. Doch man sollte auch verstehen können, nach welcher Modellvorstellung diese Programme arbeiten und wie diese umgesetzt worden sind. Die vergangenen 250 Jahre haben zahlreiche Methoden zur Navigation auf See hervorgebracht, was viele gar nicht wissen. Es gibt nicht nur das Höhenverfahren von Saint Hilaire, das für einige sogar ein Synonym für Astronavigation ist. Es gibt viel mehr, so die Methode des Chavaliers de Borda, die geometrische Standortbestimmung, die Methode von Carl Friedrich Gauß und die Positionsbestimmung nach Thomas H. Sumner. Das sind aber nur die wichtigsten, die alle als Grundlage für eine Computer-App verwendet werden können. Durch Anwendung numerischer Methoden bei der Digitalisierung liefern sie alle die gleichen exakten Ergebnisse. Eine Besonderheit beim Interceptverfahren von Saint Hilaire besteht jedoch darin, dass die eigene Position vorher geschätzt werden muss. Die anderen Verfahren brauchen keine vorherige Positionsschätzung.

So hat die Mathematik nur noch eine beschreibende Funktion und dient vor allem dem Aha-Effekt beim Studium der Methoden. Programmentwickler sind damit in der Lage, eine für sie passende Methode auszuwählen und in Programmcode zu verwandeln. Alle Verfahren mit Ausnahme der Gauß Methode benutzen auf ihrem Lösungsweg Formeln aus der sphärischen Trigonometrie. Die gebrauchten Formelapparate sind immer recht umfangreich und bestehen aus sechs, sieben oder mehr Formeln, die hintereinander zu lösen sind. Im Prinzip kommt aber immer nur eine Formel zur Anwendung, die auf die jeweilige Aufgabe umgestellt wird, und das ist der Kosinus Seitensatz. Die Gauß Methode geht den Weg der Analyse. Die dabei entstandenen Formeln sind größtenteils nur Substitutionen und können einem geometrischen Modell visuell nicht mehr zugeordnet werden. Das ist auch der Grund, weshalb die Gauß Methode damals schon direkt nach ihrer Publikation vergessen worden ist.

Ein bisschen Mathe

Um die Methoden der Astronavigation verstehen zu können, kommen wir um den Gebrauch der sphärischen Trigonometrie nicht herum. Das ist aber einfacher, als mancher denken mag. Daher möchten wir uns erst einmal einigen Dingen der Kugelgeometrie zuwenden.

Ihr solltet jetzt aber bitte keinen Schreck bekommen – ich weiß, dass viele mit der Mathematik und da vor allem mit der Algebra auf Kriegsfuß stehen. Wenn Mathematik aber gut erklärt wird, kann sie viele Menschen sogar begeistern und wird kaum noch jemanden abschrecken. Ich will sie hier so darbieten, dass jeder sie verstehen kann. Der französische Mathematiker und Philosoph Jean-Baptist le Rond d’Alembert hatte folgende Meinung über die Mathematik:

Die Mathematik ist eine Art Spielzeug, welches die Natur uns zuwarf zum Troste und zur Unterhaltung in der Finsternis.

Es ist kaum zu glauben, aber zum umfassenden Verständnis sämtlicher Methoden der Astronavigation, ob es die von Borda, Sumner, Hilaire oder anderer ist, genügt eine einzige Formel, und die ist nicht einmal kompliziert. Sie wird nur immer kompliziert dargeboten, so als ob manche Autoren zeigen wollen, was sie so können. Dies will ich jedoch nicht tun. Diese Formel ist der Kosinus Seitensatz und wird dazu verwendet, von einem Dreieck, das sich auf der Oberfläche einer Kugel ausbreitet, entweder eine Seite oder einen Winkel auszurechnen.

Wir betrachten zunächst einmal das Bild 1 auf der linken Seite. Es zeigt eine Kugel, deren Oberfläche von drei Großkreisen mit demselben Durchmesser der Kugel überzogen ist. Die drei Kreislinien beranden auf der Kugeloberfläche insgesamt acht mögliche Dreiecke verschiedener Größe, von denen wir uns aber nur eines der beiden kleineren genauer ansehen wollen. Das Gesagte gilt natürlich analog für alle Dreiecke auf dieser Kugel.

Wie in der Geometrie der Ebene sind die Ecken mit den Großbuchstaben ABC, die jeweils gegenüberliegenden Seiten mit den Kleinbuchstaben abc und die Winkel zwischen den Seiten mit den griechischen Buchstaben gekennzeichnet. Einen wesentlichen Unterschied zu einem Dreieck in der Ebene werden wir gleich feststellen. Während man die Seitenlängen eines Dreiecks in der Ebene in Zentimetern, Metern oder Meilen misst, werden die Seitenlängen eines Kugeldreiecks in Grad gemessen.

Wie es dazu kommt, sieht man in Bild 1 auf der rechten Seite. Ein Winkel b in der Kugelmitte spannt auf der Kugeloberfläche einen Kreisbogen mit einer Länge von b auf. Die Länge des Bogens wird jedoch nicht in Metern, Zoll oder irgendeinem anderen Längenmaß gemessen, sondern im selben Gradmaß wie der Winkel b im Mittelpunkt der Kugel bzw. Erdkugel. Die Länge des Bogens b ist das sogenannte Bogenmaß des Winkels b im Zentrum der Kugel. Beide werden in Grad gemessen und besitzen dieselbe Gradzahl.

Damit ist in der sphärischen Trigonometrie alles relativ. Ob die Seite eines Kugeldreiecks auf einer Murmel oder auf der Erdkugel betrachtet wird, spielt erst mal keine Rolle. Wenn ein ausgerechneter Bogen eine Länge von 3 Grad besitzt, dann sind dies auf der Erdkugel 180 Seemeilen und auf der Murmel nicht mal ein Millimeter. Doch genau das macht die sphärische Trigonometrie manchmal so einfach und auch so interessant.

Wir stellen fest, dass hier ausschließlich Kreise im Spiel sind. Winkel in den Kugelmittelpunkten sind allerdings auch nötig, um Kreisbögen definieren zu können, wie es Bild 1 rechts mit dem Winkel b und dem Kreisbogen b aufzeigt. Deswegen werden in Berechnungen alle verwendeten Seiten und Winkel als Kreisfunktionen verwendet. Kreisfunktionen sind die Sinus- und die Kosinusfunktion.

Daraus folgt: Wenn wir aus den Seiten a, c und dem Winkel eines sphärischen Dreiecks die Seite b ausrechnen wollen, dann können wir das nur mit den Kreisfunktionen dieser drei Elemente tun. Wir rechnen also nicht mit der Seite a, sondern mit cos a oder sin a. Für die Seite c gilt dann cos c oder sin c und anstelle des Winkels benutzen wir cos oder sin . Ob gerade der Kosinus oder der Sinus gebraucht wird, zeigen die Regeln des Kosinus Seitensatzes weiter unten. Wie diese Formel einst hergeleitet wurde, können Interessierte im nächsten Kapitel erfahren. Natürlich bekommen wir als Ergebnis keine Seite und auch keinen Winkel geliefert, sondern ebenfalls immer nur den Kosinus oder Sinus einer Seite oder eines Winkels.

Doch wie kommt man am Ende von cos b wieder auf b oder von sin auf . Das geht ganz einfach mit der Umkehrfunktion, die sich Arkusfunktion (lat. arcus = Bogen) nennt und äußerst einfach zu handhaben ist.

Wenn wir eine Seite ausrechnen wollen, unter anderem die Seite b, aber nur eine Formel haben, um cos b ausrechnen zu können, dann ist das kein Problem. Wir ersetzen den Kosinus auf der linken Seite mit dem Arkuskosinus auf der rechten Seite. Dazu folgendes Beispiel: Wir haben

   

wollen aber wissen, wie groß b ist. Dazu bedienen wir uns einfach einer anderen Schreibweise und definieren

   

Mit dieser Schreibweise fordern wir uns auf, die Umkehrfunktion anzuwenden, mehr nicht. Anstelle von arccos kann auch cos^-1 geschrieben werden. Diese Schreibweise findet vor allem auf Taschenrechnern Anwendung. Haben wir dort für cos b die Zahl 0,9993908 im Display stehen, dann können wir bei vielen Modellen einfach auf die Taste cos^-1 drücken. Im Display steht dann die Zahl 2, was dann 2 Grad sind.

Anwendung des Kosinus Seitensatzes

Der Kosinus Seitensatz wird in zwei Varianten benutzt. Die erste Variante wird verwendet, wenn eine Dreieckseite berechnet werden soll. Dazu müssen die beiden anderen Seiten des Dreiecks und der gegenüberliegende Winkel bekannt sein. Um die Seite b in Bild 2 berechnen zu können, benötigt man also die Seiten s und p sowie den davon eingeschlossenen Winkel . Die Berechnungsformel dafür lautet:

(1)  

Oder als Regel 1 in Worten:

• Der Kosinus einer Seite ist gleich dem Produkt der Kosinusse der anderen beiden Seiten, vermehrt um das mit dem Kosinus des Zwischenwinkels multiplizierte Produkt der Sinusse dieser beiden Seiten.

Will man einen Winkel berechnen, dann müssen alle Seiten bekannt sein. Zur Berechnung des Winkels im Bild 2 muss die folgende Formel angewendet werden:

(2)  

Oder als Regel 2 in Worten:

• Der Kosinus eines Winkels ist gleich dem Kosinus der dem Winkel gegenüberliegenden Seite, vermindert um das Produkt der Kosinusse der übrigen Seiten, geteilt durch das Produkt der Sinusse der übrigen Seiten.

Im Prinzip ist das schon die ganze sphärische Trigonometrie, wie sie in der Astronavigation gebraucht wird. Leider kennen wir die Größen von b, p und s noch gar nicht. Wir müssen sie erst definieren. Bis jetzt kennen wir nur die Breite und die auch nur als geschätzte Breite oder Koppelbreite, weiterhin die Deklination und den mit einem Sextanten gemessenen Horizontabstand h.

An dieser Stelle kommen die Komplementbeziehungen ins Spiel. Ein Komplementwinkel oder einfach das Komplement eines Winkels ist seine Ergänzung zu 90°. Hat ein Winkel einen Betrag von 60°, dann beträgt sein Komplementwinkel 30°. Weiterhin gilt, dass der Sinus eines Winkels immer gleich dem Kosinus seines Komplementwinkels ist und umgekehrt. Weil die Strecke vom Äquator bis zum Pol immer 90° beträgt, ist im Bild 2 die Deklination das Komplement der Seite p und das Komplement der Seite b auf dem Standortmeridian ist die Breite . Die nachstehende Tafel 1 zeigt alle hier geltenden Komplementbeziehungen.

Mit den Komplementen der Seiten bekommen wir überhaupt erst einen Zugriff auf die wahren Seiten. Wir wissen doch gar nicht, wie lang die Seiten b, s oder p sind, um damit ausrechnen zu können. Doch mit den Komplementen, den Ergänzungen zu 90°, wird das ganz einfach. Anstelle der unbekannten Seite cos p wird die bekannte Deklination sin eingesetzt, was absolut dasselbe ist. So vereinfachen sich die Formeln. Ohne diese müssten in den Gleichungen für cos p der Ausdruck cos (90° – ) und für sin p der Ausdruck sin (90° – ) eingesetzt werden. Die Folge wären lange Formelausdrücke. Die Tabelle zeigt in der ersten Spalte die Seiten und in der dritten Spalte die Komplemente der Seiten.

Unter Benutzung der Komplemente tauschen wir dann in der Gleichung 1 alle Seiten gegen ihre Komplemente und erhalten die neue Gleichung 1.1 zur Berechnung der Seite b:

(1.1)  

Wir könnten jetzt über die Arkuskosinusfunktion das Bogenmaß der Seite b ausrechnen, dieses von 90° subtrahieren und erhielten die Breite . Es geht aber noch einfacher. Die Komplemente in der Tabelle zeigen, dass cos b dasselbe ist wie sin . Deshalb benutzen wir anstelle von arccos gleich arcsin und haben die Breite direkt, wie die nachstehende Gleichung 1.2 zeigt:

(1.2)  

Anstelle von arcsin kann auch sin^-1 geschrieben werden.

In der zweiten Gleichung zur Berechnung des Polwinkels tauschen wir die Elemente s, p und b gegen die Komplemente h, und und bekommen:

(2.1)  

Den Polwinkel selbst bekommen wir mit der Arkuskosinusfunktion:

(2.2)  

Wie aber erklären sich die Komplementbeziehungen? Das liegt am Verlauf der Kreisfunktionen Sinus und Kosinus, die im Bild 3 über eine Schwingungsperiode zu sehen sind. Der Verlauf der Kurven setzt sich ins Positive und ins Negative unendlich weit fort. Die Amplitude schwankt dabei nur zwischen +1 und -1. Deutlich erkennbar ist der Phasenunterschied in den Verläufen beider Kurven, der genau 90° beträgt. Hat die Sinuskurve gerade einen Wert beispielsweise 0,55, dann hat die Kosinuskurve denselben Wert 90° davor, also sin x = cos(x – 90°).

Weitere wichtige Eigenschaften bestehen darin, dass die Kosinuskurve symmetrisch zur Nullachse liegt. Daraus folgt, dass Funktionswerte positiver und gleichnamiger negativer Winkel identisch sind. Es gilt also cos(+x) = cos(-x) und somit gilt auch sin x = cos(x – 90°) = cos(90° – x), was schließlich die Komplementbeziehung ist. Bei der Sinuskurve gilt, dass die Funktionswerte von gleichnamigen positiven und negativen Winkeln ein umgekehrtes Vorzeichen besitzen, also sin(+x) = – sin(-x).

Mit diesem Wissen ist man jetzt gut gerüstet, die Mathematik sämtlicher klassischer Methoden der astronomischen Navigation zu verstehen. Abschließend noch etwas als Ergänzung. Wenn wir voraussetzen, dass der Sonnenmeridian p ein westlicher ist, dann errechnet sich der Längengrad des Standortes Z aus der Summe von und dem Greenwichwinkel Grt derjenigen Zeit, in der die Höhe h der Sonne gemessen wurde.

Mit den vorstehenden Ausführungen wurde somit gleichzeitig auch das Prinzip der Chronometerlängen-Bestimmung gezeigt, wie sie in der ersten Hälfte des 19. Jahrhunderts üblich war. Damals gab es den Greenwichwinkel Grt allerdings noch nicht und so musste man die Sonnenzeit einer Beobachtung aus der Chronometerzeit und der Zeitgleichung zusammensetzen.

Abschließend wird gezeigt, wie diese in der Astronavigation so bedeutungsvolle Formel, der Kosinus Seitensatz hergeleitet wird.

Herleitung des Kosinus Seitensatzes

Für Interessierte soll jetzt noch der Kosinus Seitensatz bzw.  Seiten-Kosinussatz, wie er auch genannt wird, hergeleitet werden. Bild 4 zeigt das dazu gebrauchte Modell. Hierin erkennt man linksseitig das Kugeldreieck mit den Ecken ABC, den Seiten abc und den Winkeln . Die Seiten sind die Bogenmaße der im Kugelmittelpunkt verorteten gleichnamigen Winkel abc. Wir betrachten jetzt die Fläche AOB und fällen darauf mit einer blauen Linie ein Lot, das von der Ecke C ausgehend im Fußpunkt F endet. Von diesem Fußpunkt ausgehend betrachten wir die Linien FR und FQ, die im rechten Winkel im Punkt R auf die Linie OA und im rechten Winkel im Punkt Q auf die Linie OB treffen. Von der Ecke C ausgehend betrachten wir eine grüne Linie, die im Punkt R endet, und außerdem eine rote Linie, die im Punkt Q endet. Weiterhin betrachten wir eine Linie PR, die vom Punkt R ausgeht und den Radius OB im rechten Winkel im Punkt P trifft. Ein Abschnitt dieser Linie bildet eine Kathete des rechtwinkligen Dreiecks FSR.

Die Modellkonstruktion zeigt, dass die Seite PQ des Vierecks QPSF auf der roten Seite genauso lang ist, wie die Kathete FS des Dreiecks RSF, das der grünen Seite zugeordnet ist:

(3.1)  

Wir beginnen unsere Herleitung auf der grünen Seite mit dem Dreieck RSF. Davon ist nur der Winkel c bekannt und deshalb  müssen wir zur Berechnung etwas weiter ausholen. Vom Dreieck ORC kennen wir die Hypotenuse r und den Winkel b. Somit gilt RC = r · sin b und weil r im Einheitskreis die Größe 1 hat, gilt einfach

(3.2)  

Damit kann jetzt die Hypotenuse RF bestimmt werden. Die blau gezeichnete Lotlinie CF steht senkrecht auf der Fläche AOB, wodurch das Dreieck RFC ein rechtwinkliges ist, in dem der Kosinus des Winkels durch den Quotienten RF/RC angegeben wird. Somit gilt:

(3.3)  

Der Winkel c zwischen den Radien AO und BO ist gleich dem Winkel c zwischen den Dreieckseiten RF und RS. Warum? Der zweite spitze Winkel in dem  rechtwinkligen Dreieck OPR beträgt nämlich 90° – c. Wird dieser von 90° subtrahiert, 90° – (90° – c), dann ist das der Winkel c an der Ecke R des Dreiecks RSF. Der Sinus dieses Winkels ist der Quotient FS/FR und wir erhalten so das erste Teilergebnis:

(3.4)  

Jetzt machen wir auf der roten Seite weiter und bestimmen die Strecke PQ. Das ist die Differenz zwischen OQ und OP. Der Kosinus des Winkels a ist der Quotient OQ/r. Weil der Radius r = 1 ist, gilt einfach OQ = cos a. Jetzt benötigen wir noch die Strecke OP, die wir von OQ subtrahieren müssen. Dazu wechseln wir kurz auf die grüne Seite, wo cos b der Quotient OR/r ist, woraus sich  OR = cos b ergibt. In dem rechtwinkligen Dreieck OPR ist der Kosinus von c der Quotient OP/OR  und damit ist OP = OR ⋅ cos c. Damit fassen wir zusammen:

(3.5)  

Jetzt können wir die Teilergebnisse gleichsetzen, so wie Gl. 3.1 das angibt, und wir erhalten:

   

Um den Kosinus Seitensatz für die Seite a in der üblichen Form zu erhalten, stellen wir diese Gleichung nach cos a um, indem wir den hinter dem Subtraktionszeichen stehenden Teil mit einem Additionszeichen auf die linke Seite bringen und dann die ganze Gleichung umdrehen. Wir erhalten sodann:

(3.6)  

Für die anderen Seiten gilt dann in der Rotation:

(3.7)  

(3.8)