Anwendung des Kosinus Seitensatzes - Astronavigation: Mit dem Sextanten unterwegs

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Der bedeutendste deutsche Navigationslehrer Friedrich August Arthur Breusing (1818–1892) war kein Freund grafischer Navigationsmethoden und lehnte deshalb das Sumner-Verfahren ab. In seinem Lehrbuch „Steuermannskunst“, das als Standardwerk der Hochseenavigation in vielen Auflagen noch nach seinem Tod bis weit ins 20. Jahrhundert hinein erschien, nahm er das Verfahren von Saint Hilaire erst in einer späteren Auflage auf.

Bemerkenswert ist, dass die Gauß Methode in keiner der zehn Auflagen seines Lehrbuches auch nur erwähnt wurde. Es ist kaum anzunehmen, dass Breusing als Direktor der damals führenden deutschen Navigationsschule, die die Steuermannsschule in Bremen war, von der Gauß-Methode nichts wusste. Dabei ist gerade dieses Verfahren das brillianteste analytische Stück der Lösung des Zweihöhenproblems überhaupt.

Strenge analytische Methoden, obwohl sie im Gegensatz zu den grafischen Näherungsmethoden mathematisch exakt waren, konnten zu seinen Zeiten nicht angewendet werden, weil es keine Computer gab. Trotz des Umsichgreifens der neuen grafischen Methoden, die das Bestreben hatten, alles Alte zu verdrängen, nahm er in der 5. Auflage seines Lehrbuches die Methode von Borda und Lalande noch auf. Das Verfahren von Borda ist zwar keine streng analytische Methode, sondern eine Iterationsmethode, aber sie ist nicht grafisch.

Ein bisschen Mathe

Im Weiteren wollen wir uns mit den mathematisch exakten Verfahren auseinandersetzen. Dabei kommen wir um den Gebrauch der sphärischen Trigonometrie nicht herum. Diese ist aber einfacher, als mancher denken mag. Daher wollen wir uns erst einmal einigen Dingen der Kugelgeometrie zuwenden.

Ihr solltet jetzt aber bitte keinen Schreck bekommen – ich weiß, dass viele mit der Mathematik und da vor allem mit der Algebra auf Kriegsfuß stehen. Wenn Mathematik aber gut erklärt wird, kann sie viele Menschen sogar begeistern und wird kaum noch jemanden abschrecken. Wir wollen sie hier so darbieten, dass sie jeder verstehen kann. Der französische Mathematiker und Philosoph Jean-Baptist le Rond d’Alembert hatte folgende Meinung über die Mathematik:

Die Mathematik ist eine Art Spielzeug, welches die Natur uns zuwarf zum Troste und zur Unterhaltung in der Finsternis.

Es ist kaum zu glauben, aber zum umfassenden Verständnis sämtlicher Methoden der Astronavigation, ob es die von Borda, Sumner, Hilaire oder anderer ist, genügt eine einzige Formel, und die ist nicht einmal kompliziert. Sie wird nur immer kompliziert dargeboten, so als ob manche Autoren zeigen wollen, was sie so können. Dies will ich jedoch tunlichst vermeiden. Diese Formel ist der Kosinus Seitensatz und wird dazu verwendet, von einem Dreieck, das sich auf der Oberfläche einer Kugel ausbreitet entweder eine Seite oder einen Winkel auszurechnen.

Wir betrachten zunächst einmal das Bild 1 auf der linken Seite. Es zeigt eine Kugel, deren Oberfläche von drei Großkreisen mit demselben Durchmesser der Kugel überzogen ist. Die drei Kreislinien beranden auf der Kugeloberfläche insgesamt acht mögliche Dreiecke verschiedener Größe, von denen wir uns aber nur eines der beiden kleineren genauer ansehen wollen.

**Bild 1: Die Längen der Seiten a, b und c des sphärischen Dreiecks links sind die Bogenlängen von Winkeln im Erdmittelpunkt (rechts) und werden in Grad gemessen.**

Wie in der Geometrie der Ebene sind die Ecken mit den Großbuchstaben ABC, die jeweils gegenüber liegenden Seiten mit den Kleinbuchstaben abc und die Winkel zwischen den Seiten mit den griechischen Buchstaben $\alpha \beta \gamma$ gekennzeichnet. Einen wesentlichen Unterschied zu einem Dreieck in der Ebene werden wir gleich feststellen. Während man die Seitenlängen eines Dreiecks in der Ebene in Zentimetern, Metern oder Meilen misst, werden die Seitenlängen eines Kugeldreiecks in Grad gemessen.

Wie es dazu kommt, sieht man im Bild 1 auf der rechten Seite. Ein Winkel b in der Kugelmitte spannt auf der Kugeloberfläche einen Kreisbogen mit einer Länge von b auf. Die Länge des Bogens wird jedoch nicht in Metern, Zoll oder irgendeinem anderen Längenmaß gemessen, sondern im selben Gradmaß wie der Winkel b im Mittelpunkt der Kugel bzw. Erdkugel. Die Länge des Bogens b ist das sogenannte Bogenmaß des Winkels b im Zentrum der Kugel. Beide werden in Grad gemessen und besitzen dieselbe Gradzahl.

Damit ist in der sphärischen Trigonometrie alles relativ. Ob die Seite eines Kugeldreiecks auf einer Murmel oder auf der Erdkugel betrachtet wird, spielt erstmal keine Rolle. Wenn ein ausgerechneter Bogen eine Länge von 3 Grad besitzt, dann sind dies auf der Erdkugel 180 Seemeilen und auf der Murmel nicht mal ein Millimeter. Doch genau das macht die sphärische Trigonometrie manchmal so einfach und auch so interessant.

Wir stellen fest, dass hier ausschließlich Kreise im Spiel sind. Winkel in den Kugelmittelpunkten sind allerdings auch nötig, um Kreisbögen definieren zu können, wie es Bild 1 rechts mit dem Winkel b und dem Kreisbogen b aufzeigt. Aus diesem Grund werden in Berechnungen alle verwendeten Seiten und Winkel als Kreisfunktionen verwendet. Kreisfunktionen sind die Sinus- und die Kosinusfunktion.

Warum das in der sphärischen Trigonometrie so ist, soll an dieser Stelle nicht weiter vertieft werden. Daraus folgt, wenn wir aus den Seiten a, c und dem Winkel $\beta$ eines sphärischen Dreiecks die Seite b ausrechnen wollen, dann können wir das nur mit den Kreisfunktionen dieser drei Elemente tun. Wir rechnen also nicht mit der Seite a, sondern mit cos(a) oder sin(a). Für die Seite c gilt dann cos(c) oder sin(c) und anstelle des Winkels $\beta$ benutzen wir cos( $\beta$ ) oder sin( $\beta$ ). Ob gerade der Kosinus oder der Sinus gebraucht wird, zeigen die Regeln des Kosinus Seitensatzes weiter unten. Die Art und Weise, wie diese Formel einst hergeleitet wurde, lassen wir mal außen vor. Natürlich bekommen wir als Ergebnis keine Seite und auch keinen Winkel geliefert, sondern ebenfalls immer nur den Kosinus oder Sinus einer Seite oder eines Winkels.

Doch wie kommt man am Ende von cos(b) wieder auf b oder von sin( $\beta$ ) auf $\beta$ .Diese andere Schreibweise .. Das geht ganz einfach mit der Umkehrfunktion, die sich Arkusfunktion (lat. arcus = Bogen) nennt und äußerst einfach zu handhaben ist.

Wenn wir eine Seite ausrechnen wollen, beispielsweise die Seite b, aber nur eine Formel haben, um cos(b) ausrechnen zu können, dann ist das kein Problem. Wir ersetzen den Kosinus durch den Arkuskosinus. Dazu folgendes Beispiel. Wir haben

$\cos (b)=\frac{\sin (\varphi)}{\tan (t)}$

wollen aber wissen, wie groß b ist. Dazu bedienen wir uns einfach einer anderen Schreibweise und definieren

$b=\arccos\frac{\sin (\varphi)}{\tan (t)}\cdot$

Mit dieser Schreibweise fordern wir uns auf, die Umkehrfunktion anzuwenden, mehr nicht. Die Klammern um die Argumente lassen wir künftig weg. Wir werden also sin $\varphi$ anstelle von sin( $\varphi$ ) schreiben und anstelle von arccos kann auch cos^-1 geschrieben werden. Diese Schreibweise findet vor allem auf Taschenrechnern Anwendung. Haben wir dort für cos b die Zahl 0,9993908 im Display stehen, dann können wir bei vielen Modellen einfach auf die Taste cos^-1 drücken. Im Display steht dann die Zahl 2, was dann 2 Grad sind.

Der Kosinus Seitensatz

Der Kosinus Seitensatz wird in zwei Varianten benutzt. Die erste Variante wird verwendet, wenn eine Dreieck-Seite berechnet werden soll. Dazu müssen die beiden anderen Seiten des Dreiecks und der gegenüberliegende Winkel bekannt sein. Um die Seite b im Bild 2 berechnen zu können, benötigt man also die Seiten s und p sowie den davon eingeschlossenen Winkel $\psi$ . Die Berechnungsformel dafür lautet:

$\cos\text{b}=\cos\text{s}\cdot\cos\text{p}+\sin\text{s}\cdot\sin\text{p}\cdot\cos\psi\cdot$

Oder als Regel 1 in Worten:

Der Kosinus einer Seite ist gleich dem Produkt der Kosinusse der anderen beiden Seiten, vermehrt um das mit dem Kosinus des Zwischenwinkels multiplizierte Produkt der Sinusse dieser beiden Seiten.

Will man einen Winkel berechnen, dann müssen alle Seiten bekannt sein. Zur Berechnung des Winkels $\tau$ im Bild 2 muss die folgende Formel angewendet werden:

$\cos\tau=\frac{\cos\text{s}-\cos\text{p}\cdot\cos\text{b}}{\sin\text{p}\cdot\sin\text{b}}\cdot$

Oder als Regel 2 in Worten:

Der Kosinus eines Winkels ist gleich dem Kosinus der dem Winkel gegenüberliegenden Seite, vermindert um das Produkt der Kosinusse der übrigen Seiten, geteilt durch das Produkt der Sinusse der übrigen Seiten.

Im Prinzip ist das schon die ganze sphärische Trigonometrie, wie sie in der Astronavigation gebraucht wird. Leider kennen wir die Größen von b, p und s noch gar nicht. Wir müssen sie erst definieren. Bis jetzt kennen wir nur die Breite $\varphi$ und die auch nur als geschätzte Breite oder Koppelbreite, weiterhin die Deklination $\delta$ und den mit einem Sextanten gemessenen Horizontabstand h.

An dieser Stelle kommen die Komplementbeziehungen als Vereinfachungen ins Spiel. Ein Komplementwinkel oder einfach das Komplement eines Winkels ist seine Ergänzung zu 90°. Hat ein Winkel einen Betrag von 60°, dann beträgt sein Komplementwinkel 30°. Weil die Strecke vom Äquator bis zum Pol immer 90° beträgt, ist im Bild 2 die Deklination $\delta$ das Komplement der Seite p und das Komplement der Seite b auf dem Standortmeridian ist die Breite $\varphi$ . Die nachstehende Tafel 1 zeigt alle hier geltenden Komplementbeziehungen.

Mit den Komplementen der Seiten bekommen wir überhaupt erst einen Zugriff auf die wahren Seiten. Wir wissen doch gar nicht, wie lang die Seiten b, s oder p sind, um damit $\tau$ ausrechnen zu können. Doch mit den Komplementen, den Ergänzungen zu 90°, wird das ganz einfach. Anstelle der unbekannten Seite cos p wird die bekannte Deklination sin $\delta$ eingesetzt, was absolut dasselbe ist. So vereinfachen sich die Formeln. Ohne diese müssten in den Gleichungen für cos p der Ausdruck cos (90° – $\delta$ ) und für sin p der Ausdruck sin (90° – $\delta$ ) eingesetzt werden. Die Folge wären lange Formelausdrücke. Die Tabelle zeigt in der ersten Spalte die Seiten und in der dritten Spalte die Komplemente der Seiten.

Unter Benutzung der Komplemente tauschen wir dann alles aus und erhalten die neue Formel zur Berechnung der Seite b:

$\cos\text{b}=\sin h\,\sin \delta+\cos h\, \cos\delta\, \cos \psi\cdot$

Wir könnten jetzt über die Arkuskosinusfunktion das Bogenmaß der Seite b ausrechnen, dieses von 90° subtrahieren und erhielten die Breite $\varphi$ . Es geht aber noch einfacher. Die Komplemente in der Tabelle zeigen, dass cos b dasselbe ist wie sin $\varphi$ . Deshalb benutzen wir anstelle von arccos gleich arcsin und haben die Breite direkt, wie die nachstehende Formel zeigt:

(4.1) $\begin{equation*}\varphi=\arcsin\big(\sin h\, \sin \delta+\cos h\, \cos\delta\, \cos \psi\big)\cdot\end{equation}$

Anstelle von arcsin kann auch sin^-1 geschrieben werden.

In der zweiten Formel zur Berechnung des Polwinkels $\tau$ tauschen wir die Elemente s, p und b gegen die Komplemente h, $\delta$ und $\varphi$ und bekommen:

$\cos\tau=\frac{\sin h-\sin\delta\,\sin\varphi}{\cos\delta\,\cos\varphi}\cdot$

Den Polwinkel $\tau$ selbst bekommen wir mit der Arkuskosinus-Funktion:

(4.2) $\begin{equation*}\tau=\arccos\frac{\sin h-\sin\delta\,\sin\varphi}{\cos\delta\,\cos\varphi}\cdot\end{equation}$

Wie aber erklären sich die Komplementbeziehungen? Das liegt am Verlauf der Kreisfunktionen Sinus und Kosinus, die im Bild 3 über eine Schwingungsperiode zu sehen sind. Der Verlauf der Kurven setzt sich ins Positive und ins Negative unendlich weit fort. Die Amplitude schwankt dabei nur zwischen +1 und -1. Deutlich erkennbar ist der Phasenunterschied in den Verläufen beider Kurven, der genau 90° beträgt. Hat die Sinuskurve gerade einen Wert beispielsweise 0,55, dann hat die Kosinuskurve denselben Wert 90° davor, also sin(x) = cos(x – 90°).

**Bild 3: Verlauf der Sinuskurve (blau) und der Kosinuskurve (rot).**

Weitere wichtige Eigenschaften bestehen darin, dass die Kosinuskurve symmetrisch zur Nullachse liegt. Daraus folgt, dass Funktionswerte positiver und gleichnamiger negativer Winkel identisch sind. Es gilt also cos(+x) = cos(-x) und somit gilt auch sin(x) = cos(x – 90°) = cos(90° – x), was schließlich die Komplementbeziehung ist. Bei der Sinuskurve gilt, dass die Funktionswerte von gleichnamigen positiven und negativen Winkeln ein umgekehrtes Vorzeichen besitzen, also sin(+x) = – sin(-x).

Mit diesem Wissen ist man jetzt gut gerüstet, die ganze Mathematik der klassischen Methoden der astronomischen Navigation zu verstehen.