Die geometrische Lösung des Zweihöhenproblems - Astronavigation: Mit dem Sextanten unterwegs

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Diese Methode ist das Ergebnis einer 250-jährigen Suche nach einer Lösung für das Zweihöhenproblem. Einen großen Anschub für ihre Entstehung waren die Arbeiten des Schweizer Mathematikers Leonhard Euler, der die Formeln der sphärischen Trigonometrie systematisierte. Er stellte auch die entsprechenden Verwandlungsgleichungen für eine logarithmische Berechnung bereit. Es war die Zeit, in der auch die ersten nahezu fehlerfreien Logarithmentafeln gedruckt wurden. Damit war es erstmals möglich, einen Standort anhand zweier Sonnenhöhen über dem Horizont, die im Abstand von einigen Stunden gemessen wurden, präzise und direkt zu berechnen. Vor dem Rechenaufwand dieser algebraischen Lösung hatte man allerdings ziemlichen Respekt. So müssen beide Beobachtungen abgeschlossen sein, bevor die Rechenarbeit starten konnte, und die nahm dann auch ihre Zeit in Anspruch. Versegelungen erforderten sogar eine teilweise Neuberechnung. Nach langer Rechnerei gab es dann auch nur ein Zahlenergebnis. Das ist nichts weiter als ein Punkt, der in die Seekarte zu übertragen wäre. Man hatte keine Möglichkeit, die Richtigkeit des Ergebnisses zu überprüfen, außer alles noch einmal durchzurechnen. Das war den Seeleuten damals zu unsicher und so wurde diese Methode verworfen.

Berechnung der Breite

Zur Berechnung verwenden wir das nachstehend dargestellte Modell im Bild 1, das alle notwendigen Elemente zur Bestimmung sowohl des Breitengrades als auch des Längengrades enthält.

**Bild 1: Allgemeines Modell zur Berechnung des Breitengrades und des Längengrades unter Anwendung der sphärischen Trigonometrie.**

Im Bild 1 kennzeichnet X den Bildpunkt der Sonne zum Zeitpunkt ihrer ersten Beobachtung und X’ den Bildpunkt zum Zeitpunkt der zweiten Beobachtung. P ist der Nordpol und Z die zu ermittelnde Schiffsposition. Diese vier Punkte bilden die Eckpunkte von drei Dreiecken, die von dem großen Dreieck XPX’ umrandet werden. Die unbekannte Grundseite dieses Dreiecks ist mit q bezeichnet. Hierbei handelt es sich nicht um den Weg, den der Bildpunkt der Sonne zurücklegt, sondern um einen Abschnitt eines Großkreises, dessen Kreismittelpunkt dem Erdmittelpunkt entspricht und der durch die Sonnenpositionen X und X’ verläuft. Damit ist der Bogen q die kürzeste Verbindung zwischen den Bildpunkten. Die Seiten s und s’ sind die Komplemente der gemessenen Höhen, während die Polardistanz b das Komplement der Standortbreite δ darstellt.
Die Berechnung der Breite δ erfolgt in fünf aufeinanderfolgenden Schritten: (Mathematische Grundlagen HIER)

Die Grundseite q des großen Dreiecks XPX’ wird mithilfe der Seiten p und p’ – den Komplementen der Deklinationen δ und δ – und des davon eingeschlossenen Winkels Θ als Kreisfunktion cos q berechnet. Der Polwinkel Θ ist die Differenz $\text{GHA' - GHA}$ der beiden Beobachtungen.
Damit sind alle drei Seiten des äußeren Dreiecks bekannt und der Winkel σ kann berechnet werden.
Da gleichfalls alle Seiten des zentralen inneren Dreiecks bekannt sind, lässt sich in derselben Weise auch der Winkel ζ berechnen.
Aus der Winkeldifferenz ψ = σ – ζ erhält man den Winkel zwischen den Seiten s und p.
Die Seiten s und p sind bekannt und nun auch der davon eingeschlossene Winkel ψ Daraus könnte jetzt die Seite b berechnet werden, woraus man wiederum $\varphi$ = 90° – b erhielte. Es ist jedoch didaktisch sinnvoller, direkt das Komplement der Seite b zu berechnen.

1.) Wir legen also los mit der Seite q. Der Seiten-Kosinussatz für diese Seite lautet:

$\cos q=\cos p\cos p'+\sin p\sin p'\cos\theta\cdot$

Nach Ersetzen der Seiten mit ihren Komplementen folgt daraus:

(1) $\cos\text{q}=\sin\delta\sin \delta'+\cos\delta\cos\delta'\cos\theta\cdot$

2.) Im zweiten Schritt berechnen wir jetzt den Winkel σ. Alle Seiten sind bekannt, weshalb wir für den Winkel σ zunächst schreiben:

$\cos\sigma=\frac{\cos p'-\cos p\cos q}{\sin p\sin q}\cdot$

wir ersetzen cos p’ und cos p mit den Komplementen sin δ und sin δ sowie im Nenner sin p mit cos δ Das Ergebnis aus Gl. 6.1 mit cos q wird direkt verwendet. Damit folgt:

$\cos\sigma=\frac{\sin\delta'-\sin\delta\cos q}{\cos\delta\sin q}\cdot$

Da wir den Winkel σ direkt benötigen, wenden wir die Umkehrfunktion an:

(2) $\sigma=\cos^{-1}\frac{\sin\delta'-\sin\delta\cos q}{\cos\delta\sin q}\cdot$

3.) Dieselbe Prozedur ist auch zur Berechnung des Winkels ζ erforderlich. Anstelle der Deklinationen kommen jetzt die mit dem Sextanten gemessenen Höhen ins Spiel, sodass wir erhalten:

(3) $\zeta=\cos^{-1}\frac{\sin h'-\sin h\cos q}{\cos h\sin q}\cdot$

4.) Um die Seite b auszurechnen, benötigen wir neben den bekannten Seiten p und s den Winkel ψ Dieser ergibt sich einfach aus der Differenz:

(4) $\psi=\sigma-\zeta\cdot$

5.) Die Gleichung

$\cos\text{b}=\sin h\sin\delta+\cos h\cos\delta\cos\psi$

liefert das Komplement der Standortbreite, das anschließend von 90° subtrahiert werden müsste, um die Breite selbst zu erhalten. Weil cos b und sin $\varphi$ dasselbe sind, können wir jedoch auch gleich die Breite ausrechnen. Der direktere Rechenweg lautet daher:

(5) $\varphi=\sin^{-1}\big(\sin h\sin\delta+\cos h\cos\delta\cos\psi\big)\cdot$

Wie das Bild 1 oben zeigt, ist auch ein alternativer Standort Y möglich. Dieser Standort wird berechnet, wenn der eigene Standort südlich der aktuellen Deklinationsbreite liegt und die Sonne am Schiffsmittag nördlich beobachtet wird. Um zwischen dem nördlichen und dem südlichen Standort zu unterscheiden, müssen die in den Gleichungen verwendeten Deklinationen δ und δ mit -1 multipliziert werden. Außerdem ist auch die mit der Gleichung 5 berechnete Breite mit -1 zu multiplizieren.

Berechnung der Länge

Bei diesem Verfahren kann die Länge sinnvoll nur als Chronometerlänge bestimmt werden. Im obenstehenden Bild ist die Länge des Standorts einfach die Summe aus dem Stundenwinkel $\tau$ und GHA. Da alle Seiten der Dreiecke bekannt sind, ist die Berechnung von $\tau$ kein Problem und wir schreiben:

(6) $\tau=\cos^{-1}\frac{\sin h-\sin\delta\,\sin\varphi}{\cos\delta\,\cos\varphi}\cdot$

Bild 1 zeigt allerdings nur eine Variante, bei der die erste Beobachtung vormittags mit der Sonne im Osten und die zweite Beobachtung nachmittags mit der Sonne im Westen erfolgte. Das folgende Bild 2 zeigt weitere Varianten. So können zwei Beobachtungen bereits am Vormittag gemacht werden, wie es das Schema in der Mitte des Bildes zeigt. Das liefert nicht nur einen Standort, sondern auch die Zeit des Schiffsmittags, wodurch eine Mittagsbreitenbestimmung geplant werden könnte. Das rechte Bild zeigt dann schließlich die Variante, dass beide Beobachtungen nachmittags stattfinden.

**Bild 2: Schematische Darstellung der möglichen Peilrichtungen, aus denen die Sonne von einem Standort beobachtet werden kann.**

Um die Chronometerlänge bestimmen zu können, muss die Gestirnshöhe, hier der Sonne, nur ein einziges Mal gemessen werden. Erfolgt diese am Vormittag und folglich mit der Sonne im Osten, dann hat die Kulmination der Sonne am Schiffsstandort noch nicht stattgefunden. Die Sonne muss bis dahin mit ihrer konstanten Winkelgeschwindigkeit von 15°/h den mit der Gleichung 6 berechneten Stundenwinkel $\tau$ noch überwinden, bis ihr Bildpunkt den Meridian des Schiffsorts erreicht. Die Standortlänge berechnet sich somit als Summe von GHA und $\tau$ Erfolgt die Beobachtung am Nachmittag, wie das rechts im Bild 2 zu sehen ist, dann ergibt sich die Länge aus dem GHA abzüglich des berechneten Stundenwinkels. Deshalb gilt allgemein:

(7) $\lambda^{*} = GHA \pm \tau \cdot$

Die Bezeichnung $\lambda^{*}$ ist nötig, weil mit dieser vorläufigen Längenangabe ein vollkreisiger Winkel von 0° bis 360° rund um den Erdball entsteht. Die geografischen Längengrad-Angaben zählen jedoch vom Nullmeridian ausgehend bis 180° nach Osten und bis -180° ins Negative nach Westen. Das negative Vorzeichen bei den Längen kann entfallen, wenn stattdessen die Bezeichnung „W“ für West nachgestellt wird. Das gilt, nebenbei gesagt, ebenso für die negativen Südbreiten, wenn ihnen ein „S“ nachgestellt wird.
Die Umrechnung von $\lambda^{*}$ nach $\lambda$ erfolgt in zwei Schritten. Im ersten Schritt müssen eventuelle Überträge behandelt werden. Die Addition oder Subtraktion von GHA und $\tau$ kann nämlich negative Ergebnisse hervorbringen, aber auch Werte, die größer als 360° sind. Im ersten Fall müssen 360° addiert und im zweiten Fall 360° abgezogen werden. Die nötigen Schritte zeigt das folgende Beispiel an zwei Ergebnissen von $\lambda^*$ , nämlich –15° und 363°. Der erste Schritt ist eine Übertragsbehandlung:

$\lambda^{*}$ = 363° → 363° – 360° → $\lambda^{*}$ = 3°
$\lambda^{*}$ = -15° → -15° + 360° → $\lambda^{*}$ = 345°

Im zweiten Schritt wird zwischen Ost- und Westlängen unterschieden. Dabei gilt, dass es Westlängen sind, solange $\lambda^{*}$ kleiner als 180° ist. Ist $\lambda^{*}$ größer als 180°, dann ist $\lambda^{*}$ von 360° abzuziehen und es sind Ostlängen. Die Beispiele ergeben schließlich in der Fortsetzung:

$\lambda^{*}$ = 3° → $\lambda$ = -3° oder 3° W
$\lambda^{*}$ = 345° → $\lambda$ = 360°- 345° = 15° E

Ein weiterer Aspekt von Gleichung 7 ist das Vorzeichen, das darüber entscheidet, ob der Stundenwinkel von GHA subtrahiert wird oder ob beide Werte addiert werden. Bei der Verwendung dieser Längenberechnung in einem Computerprogramm sollte es nicht erforderlich sein, angeben zu müssen, ob die Sonne bei der ersten Beobachtung in der östlichen oder westlichen Hemisphäre stand. Eine automatische Bewertung lässt sich aus den drei möglichen Szenarien im Bild 2 ableiten.
Der eigene Standort kann sich zwischen den Längengraden der beobachteten Sonnen befinden, wie es die linke Darstellung zeigt, oder auch westlich oder östlich davon, wie in der Mitte oder rechts dargestellt.
Liegt er dazwischen, dann sind beide Differenzen α – β und σ – ζ positiv. In der mittleren Darstellung ist die Differenz α – β negativ und in der rechten Darstellung ist σ – ζ negativ. Daraus folgt:

α – β ∧ σ – ζ > 0 (∧ = und)  erste Beobachtung Ost,  zweite Beobachtung West.
α – β < 0   beide Beobachtungen Ost,
σ – ζ < 0   beide Beobachtungen West.

Diese Betrachtungsweise funktioniert natürlich nur, wenn zuvor die Breite mit dem Formelpaket 1 bis 5 berechnet worden ist, denn nur dann gibt es ein Ergebnis der Gleichung 4. Das ist dann der einzige Fall, bei dem in der Gleichung 7 das negative Rechenzeichen gilt und der Stundenwinkel $\tau$ vom Greenwichwinkel GHA abgezogen werden muss.
Der GHA wird im Deutschen meist als Grt bezeichnet. Er wird bei der klassischen Navigation nach Angaben von Datum und Zeit einer Beobachtung aus einem nautischen Jahrbuch entnommen. In Navigationsprogrammen werden die Ephemeriden GHA und Deklination entweder mit einem kleinen Modul berechnet oder in einer langjährig gültigen Datenbank vorgehalten.

Wenn eine Ortsveränderung, also eine Versegelung zwischen den Beobachtungszeiten erfolgt, dann muss die dmg (distance made good) und der cmg (course made good) festgestellt werden. Das sind Strecke und Kurs einer mittleren Gerade über Grund, also unabhängig von Wenden und Halsen auf dieser Strecke. Nach einer Höhenanpassung, die im Beitrag Ortsveränderungen behandelt wird, muss die Breiten- und Längenberechnung ab der Gleichung 3 wiederholt werden und liefert danach den versegelten Standort.

Berechnung der Breite

Berechnung der Länge

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